[十二省联考2019]骗分过样例

• 2019 年 11 月 1 日
• 笔记

传送门

　　这道题是个毒瘤题，花费了博主(text{1day})独立解决(16)个子任务。下面步入正题。

subtask 1-3:1_998244353

　　这个观察数据不难得出要求(19^xbmod 998244353)，直接搞即可。注意到可能(x)非常大，根据费马小定理(x^{P-1} equiv 1 pmod P)，我们需要读入取模。

subtask 4:1?

　　观察数据和提示告诉我们：仍然求(19^x)，只不过模数不知道。发现输出文件的最大值在(10^6)左右，我们拿第一个输入直接爆搜检验，最后能找出来(P=1145141)。

subtask 5:1?+

　　这个是前一个的加强版，发现模数在(5times 10^{18})左右，这个不好暴力了。怎么办呢？我把输入的数排了个序，发现有两组输入的(x)之差为(2)，于是我找到这两组对应的输出，得到了：(19^{264708066}equiv 1996649514996338529 pmod P)和(19^{264708068}equiv 1589589654696467295 pmod P)。也就是说上面的式子乘上(19^2)再取模就能得到下面的数字，于是我们得到了：(1996649514996338529times 19^2 equiv 1589589654696467295 pmod P)。然后改写这个式子：(1996649514996338529times 361-nP=1589589654696467295)，把常数移到右边，发现在(long long)范围内无法算出，我用(long double)算出了近似值。然后(P)一定是这个数的一个因子。发现(n)在(100)到(200)以内，我就暴力试除，考虑到精度又将除出来的模数以及(pm 1000)以内的用第一组输入输出判断了一下，最后找到了模数(P=5211600617818708273)。

subtask 6-7:1wa_998244353

　　发现并不是求(19^x bmod 998244353)了，换成了用(int)一步一步直接乘再取模，忽视溢出等问题。代码如下。

    x = (int)(x * 19) % 998244353;

　　第(6)个点直接顺序求解即可。第(7)个点恐怕不太行，(x)太大了。我一开始想改写快速幂来求解，发现行不通。正当我一筹莫展的时候，我让第(6)个点多跑到(10^6)组，发现了循环节。就是从(x=55246)开始，每过(45699)个数循环一次。这让我想起了(text{Pollard-Rho})算法的环和(rho)很像。当然与那个算法没有关系，这里直接用上述性质即可。

subtask 14-16:2g && 2g+

　　当时我在做完前面(6)个(text{subtask})后紧接着做的。前面两个点，每次询问给你三个数(l)，(r)，(P)，要求(l)到(r)在模(P)下的原根。对于第(14)个点，(P=998244353)时，(varphi(P)=P-1=998244352=2^{23}times 7times 17)，因为不同的质因子只有(3)个，所以可以直接试除判断是否为原根。

　　对于第(15)个点，(P=13123111)，(varphi(P)=13123110=2×3×5×7×11×13×19×23)，而且判断的数字多达(10^7)个，试除肯定会(text{T})，而我们可以利用其中一个原根把其他的原根遍历出来。在这里(g)取(6)，因为(g^t)遍历所有(varphi(P))个与(P)互质的数，而当且仅当(t)与(varphi(P))互质的时候(g^t)也是原根。于是我们用(varphi(P))的质因子对(t)进行取模判断。遍历完后原根就找全了。

　　对于第(16)个点，最后一组询问未知模数，根据数据给的原根我们反求模数。提示说在(10^9)到(2times 10^9)之间且是个质数，我们一个一个找，然后借助已有的原根通过试除法判断这个质数可不可行。(forall g)，如果(g^frac{P-1}{2}notequiv 1 pmod P)，则(P)很可能是我们要找的模数。我的电脑跑了大约(5min)找到了一个数(P=1515343657)，然后检验发现是正确的。用它搜原根与用(P=998244353)的方法一样。于是就解决了。

subtask 8-10:2p

　　要求我们判断(l)到(r)内每个数是不是质数。小范围的可以用线性筛，范围稍微大点的可能可以筛一部分数然后用这部分数来筛(l)到(r)，但我直接上了(text{Miller-Rabin})，这个算法可以在(log n)的时间内测试一个数是不是质数，正确率为(1-(frac{1}{4})^s)，(s)为测试次数。这题貌似选取两三个数就可以了，这样常数小全能过。

subtask 11-13:2u

　　这里让我们筛出(l)到(r)的莫比乌斯函数。

　　同上面一样，我们可以小范围地筛出来(mu)过掉前两个点。当时我没有这么想，用了(text{Pollard-Rho})来暴力分解然后筛出前(10^6)个莫比乌斯函数，发现第二个点都过不掉。怎么办呢？最大的数为(10^{18})，我想到如果筛出(10^6)以内的质数然后用这些质数来筛这些数，剩下的数的素因子一定(geq 10^6)，所以剩下的数最多只能有两个素因子，也就是以下三种情况：

　　一、剩下的数是质数，用(text{Miller-Rabin})判一下，这个时候会使(mu)乘上(-1)；

　　二、剩下的数是两个不同的质数的乘积；负负得正，这个时候不会对(mu)产生贡献；

　　三、剩下的数是一个质数的平方。这个时候(mu)为(0)。

　　然后用小于(10^6)的因子去筛这些数，并且维护(mu)，即可求解。

　　但要注意要去掉含有平方因子的数。最后这道题就解完了。

\ AC代码  #include <bits/stdc++.h>    using namespace std;    #define ll long long  #define ull unsigned long long  #define rep(i, a, b) for (register int i = a, end = b; i <= end; i++)  #define repd(i, a, b) for (register int i = a, end = b; i >= end; i--)  #define chkmax(a, b) a = max(a, b)  #define chkmin(a, b) a = min(a, b)  #define INF (1<<30)  #define pb push_back  #define mp(a, b) make_pair(a, b)  #define fst first  #define snd second  #define pii pair<int, int>    char s[15];    namespace _998244353 {      int N;      ull P;      ull v;        inline void inc(ull &a, ull b, ull p) {          a += b;          if (a >= p) a -= p;      }        ull Mult(ull a, ull b, ull p) {          ull res = 0;          for (ull k = a; b; inc(k, k, p), b >>= 1)              if (b & 1) inc(res, k, p);          return res;      }        ull qpow(ull a, ull b, ull p) {          ull res = 1;          for (register ull k = a; b; k = Mult(k, k, p), b >>= 1)          if (b & 1) res = Mult(res, k, p);          return res;      }        inline ull read() {          ull w = 0; char c;          while (!isdigit(c = getchar())) ;          while (isdigit(c)) w = ((w << 3) + (w << 1) + (c ^ 48)) % (P-1), c = getchar();          return w;      }      void main(ull orz) {          P = orz;          scanf("%d", &N);          rep(i, 1, N) {              v = read();              printf("%llun", qpow(19, v, P));          }      }  }    namespace WA {      int N;      int ans[55246+45699+5];      void main() {          scanf("%d", &N);          ans[0] = 1;          rep(i, 1, 55246+45699) {              ans[i] = (int)(ans[i-1]*19)%998244353;          }          rep(i, 1, N) {              ll val;              scanf("%lld", &val);              if (val <= 55246+45699) printf("%dn", ans[val]);              else printf("%dn", ans[(val-55246)%45699+55246]);          }      }  }    namespace GG {      int qpow(int a, int b, int p) {          int res = 1;          for (register int k = a; b; k = (ll)k*k%p, b >>= 1)              if (b & 1) res = (ll)res * k % p;          return res;      }      void run1(int l, int r, int p) {          if (p == 998244353) {              rep(i, l, r) if (qpow(i, 499122176, 998244353) != 1 && qpow(i, 142606336, 998244353) != 1 && qpow(i, 58720256, 998244353) != 1) printf("g"); else printf(".");          } else {              rep(i, l, r)                  if (qpow(i, 757671828, 1515343657) != 1 && qpow(i, 505114552, 1515343657) != 1 &&                      qpow(i, 378552, 1515343657) != 1 && qpow(i, 96072, 1515343657) != 1) printf("g"); else printf(".");          }          puts("");      }      int st[13123120];      void run2(int p) {          memset(st, 0, sizeof(st));          int g = 6, cnt = 0;          do {              cnt++;              if (cnt % 2 && cnt % 3 && cnt % 5 && cnt % 7 && cnt % 11 && cnt % 13 && cnt % 19 && cnt % 23) st[g] = 1;              g = g*6%p;          } while (g != 6);          rep(i, 1, 13123110) if (st[i]) printf("g"); else printf(".");          puts("");      }  }    namespace PP {      inline ll Mult(ll a, ll b, ll p) {          ll c = (ll)a*b - (ll)((ull)((long double)a*b/p)*p);          return c < 0 ? c+p : ((ull)c >= (ull)p ? c-p : c);      }        ll qpow(ll a, ll b, ll p) {          ll res = 1;          for (register ll k = a; b; k = Mult(k, k, p), b >>= 1)              if (b & 1) res = Mult(res, k, p);          return res;      }      int test[10] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};      bool MR(ll P, int cnt = 10) {          ll s = P-1; int t = 0;          while (!(s & 1)) s >>= 1, t++;          rep(i, 0, cnt-1) {              if (P == test[i]) return true;              if (test[i] > P) return false;              ll a = qpow(test[i], s, P), nxt;              rep(x, 1, t) {                  nxt = Mult(a, a, P);                  if (nxt == 1 && a != 1 && a != P-1) return false;                  a = nxt;                  if (a == 1) break;              }              if (a != 1) return false;          }          return true;      }      int N;      void main() {          scanf("%d", &N);          while (N--) {              ll l, r;              scanf("%lld%lld", &l, &r);              while (l <= r) {                  if (MR(l)) printf("p"); else printf(".");                  l++;              }              puts("");          }      }  }    namespace UU {      int N;      int check[1000005], p[100000];      void init() {          memset(check, 0, sizeof(check));          p[0] = 0;          rep(i, 2, 1000000) {              if (!check[i]) p[++p[0]] = i;              for (register int j = 1; j <= p[0] && i*p[j] <= 1000000; j++) {                  check[i*p[j]] = 1;                  if (!(i % p[j])) break;              }          }      }      ll frac[1000001], mu[1000001];      bool issqr(ll x) {          ll v = sqrt(x);          if (v*v == x || (v-1)*(v-1)==x || (v+1)*(v+1)==x) return true;          return false;      }  #define cc(x) ((x) == 0 ? '0' : ((x) < 0 ? '-' : '+'))      void main() {          init();          scanf("%d", &N);          while (N--) {              ll l, r;              scanf("%lld%lld", &l, &r);              rep(i, 0, r-l) mu[i] = frac[i] = 1;              rep(i, 1, p[0]) {                  ll x = 1ll*p[i]*p[i], st = l-(l-1)%x-1+x;                  while (st <= r) {                      mu[st-l] = 0; frac[st-l] = st; st += x;                  }                  x = p[i], st = l-(l-1)%x-1+x;                  while (st <= r) {                      mu[st-l] = -mu[st-l];                      if (frac[st-l] != st) frac[st-l] *= x;                      st += x;                  }              }              for (register ll i = l; i <= r; i++) {                  ll val = i/frac[i-l];                  if (val == 1) printf("%c", cc(mu[i-l]));                  else if (PP::MR(val, 2)) printf("%c", cc(-mu[i-l]));                  else if (issqr(val)) printf("0");                  else printf("%c", cc(mu[i-l]));              }              puts("");          }      }  }    int main() {      srand(time(0));      scanf("%s", s);      if (s[2] == '9') _998244353::main(998244353);      if (s[1] == '?') {          if (s[2] == '+') {              _998244353::main(5211600617818708273ll);          } else {              _998244353::main(1145141);          }      }      if (s[1] == 'w') {          WA::main();      }      if (s[1] == 'g') {          int l, r, p, N;          if (s[2] == '?') {              scanf("%d", &N);              while (N--) {                  scanf("%d%d", &l, &r);                  if (N) scanf("%d", &p); else p = 1515343657;                  GG::run1(l, r, p);              }          } else {              scanf("%d", &N);              while (N--) {                  scanf("%d%d%d", &l, &r, &p);                  if (p == 998244353) GG::run1(l, r, p);                  else GG::run2(p);              }          }      }      if (s[1] == 'p') {          PP::main();      }      if (s[1] == 'u') {          UU::main();      }        return 0;  }