从整式\(f(x)\)的趋向角度来看主要分为趋于0和趋于\(\infty\)，均有不同的适用方法：

a) 当\(f(x)\rightarrow0\)时，我们在整体上可以利用“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”。至于怎样实现化成可以利用的形式，在\(x\)趋向不同值的时候略有不同，不过最后都能化简成\(h(x)\rightarrow0\)时有\(g(x)\rightarrow0\)。

（1）当\(x\rightarrow0\)时有\(f(x)\rightarrow0\)，这个就直接用“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”;

（2）当\(x\rightarrow C\)（\(C\)为非零常数）时有\(f(x)\rightarrow0\)，那么总能找到一个关于\(x\)的函数\(h(x)\)，满足当\(x\rightarrow C\)的时候\(h(x)\rightarrow0\)。这里的\(h(x)\)就是“张宇の小狗”。此时将\(h(x)\)视为一个新的变量，将\(f(x)\)化为关于\(h(x)\)的函数\(g(h(x))\)。令\(t=h(x)\)，这样就变成如下形式了：当\(t\rightarrow0\)时有\(f(x)=g(h(x))\Rightarrow g(t)\rightarrow0\);

（3）当\(x\rightarrow\infty\)时有\(f(x)\rightarrow0\)，此时运用倒代换，令\(t=\frac{1}{x}\)，即有当\(t\rightarrow0\)时有\(f(x)=g(\frac{1}{x})\Rightarrow g(t)\rightarrow0\);

b) 当\(f(x)\rightarrow\infty\)时，我想我们就只能用“洛必达法则”了。因为如果一个函数\(f(x)\)在\(x\rightarrow0\)时趋向于\(\infty\)，那么这个函数在\(x=0\)点处就不可能有定义，既然都没有定义了，谈何“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”？

（1）当\(x\rightarrow C\)（\(C\)为非零常数）时有\(f(x)\rightarrow\infty\)，那么总能找到一个关于\(x\)的函数\(h(x)\)，满足当\(x\rightarrow C\)的时候\(h(x)\rightarrow0\)。即转换为\(h(x)\rightarrow0\)时，\(g(h(x))\rightarrow\infty\);

（2）当\(x\rightarrow\infty\)时有\(f(x)\rightarrow\infty\)，这个时候如果我们想要利用“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”，就必须让找到一个“张宇の小狗”，让它趋于0。这是我们就可以找“倒代换”令\(t=\frac{1}{x}\)，此时\(t\rightarrow0\)，但令人倍感遗憾的是\(f(x)=g(\frac{1}{x})\Rightarrow g(t)\rightarrow\infty\)，又回到最初的起点…;

既然这个方法不行那就说明“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”这种方法在\(f(x)\rightarrow\infty\)时是失效的，只能用“洛必达法则”了。

【补充】关于“洛必达法则”

（1）当\(f(x)\rightarrow\infty\)时，即从导数的角度看“洛必达法则”：就是函数值比不出来了，那就比趋向速度，如果一阶趋向速度比不出来就比二阶、三阶…一直到比出来为止;

（2）当\(f(x)\rightarrow0\)时，即从泰勒展开式的角度看“洛必达法则”：就是求上下俩函数的“最低阶系数之比”，上下同时求导就是为了降幂，看谁先降为常数（这里比的就是两者的最低阶），如果分子先则结果为无穷大，反之分母先则为无穷小;

（3）在2中的“最低阶系数之比”在“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”方法中亦称之为“展开至同阶”。需要注意的是：这里的“同阶”并不是严格意义上的同阶，是可以通过乘上无穷小量来制造的，只不过比值可能会为0或者\(\infty\);

（4）由于有2的存在，所以得出结论：“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”方法可以解决的问题均可在理论上通过“洛必达法则”实现。为什么说是理论上呢？因为如果函数复杂的话，求导也是一件相当困难的事，不过赶紧寻找“张宇の小狗”，然后将其换元化成简单函数，这也许是一个不错的选择。不过令人头大的是，“洛必达法则”规定上下同时对\(x\)求导，即对同一变量求导，这就挡住了“洛必达法则”的光明前程，因为上下的“张宇の小狗”很难是同一只。所以只能说理论上可以，实际上则非常不现实;

\(\qquad\)但是上述的分类显然是有缺陷的，因为它仅仅只是适用于当\(f(x)\)是一个整式，不能包含分式和加减法运算。所以这里需要补充加减法的运算法则：

a) 忽略因阶数问题而小的量;

（1）含有无穷大参与的运算：忽略低阶无穷大、常数以及无穷小量;

（2）没有无穷大参与的运算：如果有常数参与则忽略无穷小量，否则见3;

（3）只有无穷小参与的运算：忽略高阶无穷小量，若是其中有常数参与，只保留常数;

【补充】

（1）这里的常数比一般意义上的常数范围更广，包含3类：函数值在该趋向点处为非零常数的函数、极限在该点趋向时为非零常数的函数以及非零常数;

（2）通常震荡有界函数都会和一个无穷小的量相乘，变成一个无穷小的量，然后被当做高阶无穷小本舍弃。原因就是震荡函数不好求导，这样既不能用“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”也不能用“洛必达法则”，故而已经出现就要想方设法将它抛弃;

b) 当为同阶时;

（1）两个无穷大异号时，通过倒代换\(t=\frac{1}{x}\)构造分母为\(\beta\cdot t^\alpha\)，分子则为一个关于\(t\)的无穷小;

（2）两无穷小异号时，遵循“幂次最低异系数”原则。该法则的解释如下：如果\(A，B\rightarrow0\)，则\(A-B\)应由低阶向高阶同时逐阶展开，如果阶数不同则见a.3，否则直至同阶时的系数不同或者阶数不同。

【补充】无穷小的构造分式

（1）无穷小不一定两个都是无穷小，可能只是相加减的结果为无穷小（不是未定式，而是定式），换句话说就是当函数复杂到“b.2”以及“张宇の小狗”也找不到的时候，即无法利用“带有皮亚诺余项的的麦克劳林展开”时。比如当两个根式相减时，可以用分子有理化构造出一个分式，这时分母极限不趋于零，分子去掉了最外层的根号，这样就简单了许多;