從整式\(f(x)\)的趨向角度來看主要分為趨於0和趨於\(\infty\)，均有不同的適用方法：

a) 當\(f(x)\rightarrow0\)時，我們在整體上可以利用「帶有皮亞諾余項的的麥克勞林展開」。至於怎樣實現化成可以利用的形式，在\(x\)趨向不同值的時候略有不同，不過最後都能化簡成\(h(x)\rightarrow0\)時有\(g(x)\rightarrow0\)。

（1）當\(x\rightarrow0\)時有\(f(x)\rightarrow0\)，這個就直接用「帶有皮亞諾余項的的麥克勞林展開」;

（2）當\(x\rightarrow C\)（\(C\)為非零常數）時有\(f(x)\rightarrow0\)，那麼總能找到一個關於\(x\)的函數\(h(x)\)，滿足當\(x\rightarrow C\)的時候\(h(x)\rightarrow0\)。這裡的\(h(x)\)就是「張宇の小狗」。此時將\(h(x)\)視為一個新的變量，將\(f(x)\)化為關於\(h(x)\)的函數\(g(h(x))\)。令\(t=h(x)\)，這樣就變成如下形式了：當\(t\rightarrow0\)時有\(f(x)=g(h(x))\Rightarrow g(t)\rightarrow0\);

（3）當\(x\rightarrow\infty\)時有\(f(x)\rightarrow0\)，此時運用倒代換，令\(t=\frac{1}{x}\)，即有當\(t\rightarrow0\)時有\(f(x)=g(\frac{1}{x})\Rightarrow g(t)\rightarrow0\);

b) 當\(f(x)\rightarrow\infty\)時，我想我們就只能用「洛必達法則」了。因為如果一個函數\(f(x)\)在\(x\rightarrow0\)時趨向於\(\infty\)，那麼這個函數在\(x=0\)點處就不可能有定義，既然都沒有定義了，談何「帶有皮亞諾余項的的麥克勞林展開」？

（1）當\(x\rightarrow C\)（\(C\)為非零常數）時有\(f(x)\rightarrow\infty\)，那麼總能找到一個關於\(x\)的函數\(h(x)\)，滿足當\(x\rightarrow C\)的時候\(h(x)\rightarrow0\)。即轉換為\(h(x)\rightarrow0\)時，\(g(h(x))\rightarrow\infty\);

（2）當\(x\rightarrow\infty\)時有\(f(x)\rightarrow\infty\)，這個時候如果我們想要利用「帶有皮亞諾余項的的麥克勞林展開」，就必須讓找到一個「張宇の小狗」，讓它趨於0。這是我們就可以找「倒代換」令\(t=\frac{1}{x}\)，此時\(t\rightarrow0\)，但令人倍感遺憾的是\(f(x)=g(\frac{1}{x})\Rightarrow g(t)\rightarrow\infty\)，又回到最初的起點…;

既然這個方法不行那就說明「帶有皮亞諾余項的的麥克勞林展開」這種方法在\(f(x)\rightarrow\infty\)時是失效的，只能用「洛必達法則」了。

【補充】關於「洛必達法則」

（1）當\(f(x)\rightarrow\infty\)時，即從導數的角度看「洛必達法則」：就是函數值比不出來了，那就比趨向速度，如果一階趨向速度比不出來就比二階、三階…一直到比出來為止;

（2）當\(f(x)\rightarrow0\)時，即從泰勒展開式的角度看「洛必達法則」：就是求上下倆函數的「最低階係數之比」，上下同時求導就是為了降冪，看誰先降為常數（這裡比的就是兩者的最低階），如果分子先則結果為無窮大，反之分母先則為無窮小;

（3）在2中的「最低階係數之比」在「帶有皮亞諾余項的的麥克勞林展開」方法中亦稱之為「展開至同階」。需要注意的是：這裡的「同階」並不是嚴格意義上的同階，是可以通過乘上無窮小量來製造的，只不過比值可能會為0或者\(\infty\);

（4）由於有2的存在，所以得出結論：「帶有皮亞諾余項的的麥克勞林展開」方法可以解決的問題均可在理論上通過「洛必達法則」實現。為什麼說是理論上呢？因為如果函數複雜的話，求導也是一件相當困難的事，不過趕緊尋找「張宇の小狗」，然後將其換元化成簡單函數，這也許是一個不錯的選擇。不過令人頭大的是，「洛必達法則」規定上下同時對\(x\)求導，即對同一變量求導，這就擋住了「洛必達法則」的光明前程，因為上下的「張宇の小狗」很難是同一隻。所以只能說理論上可以，實際上則非常不現實;

\(\qquad\)但是上述的分類顯然是有缺陷的，因為它僅僅只是適用於當\(f(x)\)是一個整式，不能包含分式和加減法運算。所以這裡需要補充加減法的運算法則：

a) 忽略因階數問題而小的量;

（1）含有無窮大參與的運算：忽略低階無窮大、常數以及無窮小量;

（2）沒有無窮大參與的運算：如果有常數參與則忽略無窮小量，否則見3;

（3）只有無窮小參與的運算：忽略高階無窮小量，若是其中有常數參與，只保留常數;

【補充】

（1）這裡的常數比一般意義上的常數範圍更廣，包含3類：函數值在該趨向點處為非零常數的函數、極限在該點趨向時為非零常數的函數以及非零常數;

（2）通常震蕩有界函數都會和一個無窮小的量相乘，變成一個無窮小的量，然後被當做高階無窮小本捨棄。原因就是震蕩函數不好求導，這樣既不能用「帶有皮亞諾余項的的麥克勞林展開」也不能用「洛必達法則」，故而已經出現就要想方設法將它拋棄;

b) 當為同階時;

（1）兩個無窮大異號時，通過倒代換\(t=\frac{1}{x}\)構造分母為\(\beta\cdot t^\alpha\)，分子則為一個關於\(t\)的無窮小;

（2）兩無窮小異號時，遵循「冪次最低異係數」原則。該法則的解釋如下：如果\(A，B\rightarrow0\)，則\(A-B\)應由低階向高階同時逐階展開，如果階數不同則見a.3，否則直至同階時的係數不同或者階數不同。

【補充】無窮小的構造分式

（1）無窮小不一定兩個都是無窮小，可能只是相加減的結果為無窮小（不是未定式，而是定式），換句話說就是當函數複雜到「b.2」以及「張宇の小狗」也找不到的時候，即無法利用「帶有皮亞諾余項的的麥克勞林展開」時。比如當兩個根式相減時，可以用分子有理化構造出一個分式，這時分母極限不趨於零，分子去掉了最外層的根號，這樣就簡單了許多;