詳解一道高頻面試題：接雨水
- 2019 年 10 月 8 日
- 筆記
作者：labuladong
接雨水這道題目挺有意思，在面試題中出現頻率還挺高的，本文就來步步優化，講解一下這道題。
這道題目實際上出自 LeetCode：
題目來自 leetcode-cn.com
就是用一個數組表示一個條形圖，問你這個條形圖最多能接多少水。
int trap(int[] height);
下面就來由淺入深介紹暴力解法 -> 備忘錄解法 -> 雙指針解法，在 O(N) 時間 O(1) 空間內解決這個問題。
一、核心思路
我第一次看到這個問題，無計可施，完全沒有思路，相信很多朋友跟我一樣。所以對於這種問題，我們不要想整體，而應該去想局部；就像之前的文章處理字元串問題，不要考慮如何處理整個字元串，而是去思考應該如何處理每一個字元。
這麼一想，可以發現這道題的思路其實很簡單。具體來說，僅僅對於位置 i，能裝下多少水呢？
能裝 2 格水。為什麼恰好是兩格水呢？因為 height[i] 的高度為 0，而這裡最多能盛 2 格水，2-0=2。
為什麼位置 i 最多能盛 2 格水呢？因為，位置 i 能達到的水柱高度和其左邊的最高柱子、右邊的最高柱子有關，我們分別稱這兩個柱子高度為l_max和r_max；位置 i 最大的水柱高度就是min(l_max, r_max)。
更進一步，對於位置 i，能夠裝的水為：
water[i] = min( # 左邊最高的柱子 max(height[0..i]), # 右邊最高的柱子 max(height[i..end]) ) - height[i]
這就是本問題的核心思路，我們可以簡單寫一個暴力演算法：
有之前的思路，這個解法應該是很直接粗暴的，時間複雜度 O(N^2)，空間複雜度 O(1)。但是很明顯這種計算r_max和l_max的方式非常笨拙，一般的優化方法就是備忘錄。
二、備忘錄優化
之前的暴力解法，不是在每個位置 i 都要計算r_max和l_max嗎？我們直接把結果都快取下來，別傻不拉幾的每次都遍歷，這時間複雜度不就降下來了嘛。
我們開兩個數組r_max和l_max充當備忘錄，l_max[i]表示位置 i 左邊最高的柱子高度，r_max[i]表示位置 i 右邊最高的柱子高度。預先把這兩個數組計算好，避免重複計算：
這個優化其實和暴力解法差不多，就是避免了重複計算，把時間複雜度降低為 O(N)，已經是最優了，但是空間複雜度是 O(N)。下面來看一個精妙一些的解法，能夠把空間複雜度降低到 O(1)。
三、雙指針解法
這種解法的思路是完全相同的，但在實現手法上非常巧妙，我們這次也不要用備忘錄提前計算了，而是用雙指針邊走邊算，節省下空間複雜度。
首先，看一部分程式碼：
int trap(vector<int>& height) { int n = height.size(); int left = 0, right = n - 1; int l_max = height[0]; int r_max = height[n - 1]; while (left <= right) { l_max = max(l_max, height[left]); r_max = max(r_max, height[right]); left++; right--; } } 對於這部分程式碼，請問l_max和r_max分別表示什麼意義呢？
很容易理解，l_max是height[0..left]中最高柱子的高度，r_max是height[right..end]的最高柱子的高度。
明白了這一點，直接看解法：
你看，其中的核心思想和之前一模一樣，換湯不換藥。但是細心的讀者可能會發現次解法還是有點細節差異：
之前的備忘錄解法，l_max[i]和r_max[i]代表的是height[0..i]和height[i..end]的最高柱子高度。
ans += min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];
但是雙指針解法中，l_max和r_max代表的是height[0..left]和height[right..end]的最高柱子高度。比如這段程式碼：
if (l_max < r_max) { ans += l_max - height[left]; left++; } 
此時的l_max是left指針左邊的最高柱子，但是r_max並不一定是left指針右邊最高的柱子，這真的可以得到正確答案嗎？
其實這個問題要這麼思考，我們只在乎min(l_max, r_max)。對於上圖的情況，我們已經知道l_max < r_max了，至於這個r_max是不是右邊最大的，不重要，重要的是height[i]能夠裝的水只和l_max有關。
對於 l_max > r_max 的情況也是類似的。
這就是接雨水問題的全部內容，希望大家在演算法之路上繼續精進～