详解一道高频面试题：接雨水
- 2019 年 10 月 8 日
- 筆記
作者：labuladong
接雨水这道题目挺有意思，在面试题中出现频率还挺高的，本文就来步步优化，讲解一下这道题。
这道题目实际上出自 LeetCode：
题目来自 leetcode-cn.com
就是用一个数组表示一个条形图，问你这个条形图最多能接多少水。
int trap(int[] height);
下面就来由浅入深介绍暴力解法 -> 备忘录解法 -> 双指针解法，在 O(N) 时间 O(1) 空间内解决这个问题。
一、核心思路
我第一次看到这个问题，无计可施，完全没有思路，相信很多朋友跟我一样。所以对于这种问题，我们不要想整体，而应该去想局部；就像之前的文章处理字符串问题，不要考虑如何处理整个字符串，而是去思考应该如何处理每一个字符。
这么一想，可以发现这道题的思路其实很简单。具体来说，仅仅对于位置 i，能装下多少水呢？
能装 2 格水。为什么恰好是两格水呢？因为 height[i] 的高度为 0，而这里最多能盛 2 格水，2-0=2。
为什么位置 i 最多能盛 2 格水呢？因为，位置 i 能达到的水柱高度和其左边的最高柱子、右边的最高柱子有关，我们分别称这两个柱子高度为l_max和r_max；位置 i 最大的水柱高度就是min(l_max, r_max)。
更进一步，对于位置 i，能够装的水为：
water[i] = min( # 左边最高的柱子 max(height[0..i]), # 右边最高的柱子 max(height[i..end]) ) - height[i]
这就是本问题的核心思路，我们可以简单写一个暴力算法：
有之前的思路，这个解法应该是很直接粗暴的，时间复杂度 O(N^2)，空间复杂度 O(1)。但是很明显这种计算r_max和l_max的方式非常笨拙，一般的优化方法就是备忘录。
二、备忘录优化
之前的暴力解法，不是在每个位置 i 都要计算r_max和l_max吗？我们直接把结果都缓存下来，别傻不拉几的每次都遍历，这时间复杂度不就降下来了嘛。
我们开两个数组r_max和l_max充当备忘录，l_max[i]表示位置 i 左边最高的柱子高度，r_max[i]表示位置 i 右边最高的柱子高度。预先把这两个数组计算好，避免重复计算：
这个优化其实和暴力解法差不多，就是避免了重复计算，把时间复杂度降低为 O(N)，已经是最优了，但是空间复杂度是 O(N)。下面来看一个精妙一些的解法，能够把空间复杂度降低到 O(1)。
三、双指针解法
这种解法的思路是完全相同的，但在实现手法上非常巧妙，我们这次也不要用备忘录提前计算了，而是用双指针边走边算，节省下空间复杂度。
首先，看一部分代码：
int trap(vector<int>& height) { int n = height.size(); int left = 0, right = n - 1; int l_max = height[0]; int r_max = height[n - 1]; while (left <= right) { l_max = max(l_max, height[left]); r_max = max(r_max, height[right]); left++; right--; } }
对于这部分代码，请问l_max和r_max分别表示什么意义呢？
很容易理解，l_max是height[0..left]中最高柱子的高度，r_max是height[right..end]的最高柱子的高度。
明白了这一点，直接看解法：
你看，其中的核心思想和之前一模一样，换汤不换药。但是细心的读者可能会发现次解法还是有点细节差异：
之前的备忘录解法，l_max[i]和r_max[i]代表的是height[0..i]和height[i..end]的最高柱子高度。
ans += min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];
但是双指针解法中，l_max和r_max代表的是height[0..left]和height[right..end]的最高柱子高度。比如这段代码：
if (l_max < r_max) { ans += l_max - height[left]; left++; }
此时的l_max是left指针左边的最高柱子，但是r_max并不一定是left指针右边最高的柱子，这真的可以得到正确答案吗？
其实这个问题要这么思考，我们只在乎min(l_max, r_max)。对于上图的情况，我们已经知道l_max < r_max了，至于这个r_max是不是右边最大的，不重要，重要的是height[i]能够装的水只和l_max有关。
对于 l_max > r_max 的情况也是类似的。
这就是接雨水问题的全部内容，希望大家在算法之路上继续精进～
