線性代數精華2——逆矩陣的推導過程
- 2020 年 3 月 5 日
- 筆記
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上一講當中我們複習了行列式的內容，行列式只是開胃小菜，線性代數的大頭還是矩陣。
矩陣的定義很簡單，就是若干個數按照順序排列在一起的數表。比如m * n個數，排成一個m * n的數表，就稱為一個m * n的矩陣。
矩陣運算的相關性質不多，主要的有這麼幾點：
1. 矩陣的加法有結合律和交換律
2. 矩陣的乘法沒有交換律
3. m*n的矩陣乘上n*k的矩陣的結果是一個m*k的矩陣
很多人會覺得矩陣乘法比較複雜，不僅是計算複雜，而且經常會記不清運算的方法。會覺得複雜，可能只是因為我們將它當做了數學公式來生硬的記憶，而沒有理解其中的原理。
我們不妨假設A和B分別是一個m*n和n*k的矩陣：
那麼，
其中，
Arowi指的是A矩陣中第i行的行向量，同樣Bcolj指的是B矩陣中第j列的列向量。
我們單從公式上來看不太容易理解，但我們可以轉變一下思路。將B不要當做一個完整的矩陣，而當做是k個列向量的集合，代表一種線性變換。將一個n維的向量線性變換到k維空間的變換。
那麼A和B矩陣相乘的結果，其實也就意味著A矩陣當中m個n維向量分別進行線性變換之後組合成的新矩陣。向量的數量沒有變，還是m個，只不過維度從n變成了k，所以最終的結果是一個m*k的矩陣。
這點搞明白了之後，就到了接下來的重頭戲——逆矩陣。
我們先來看一下逆矩陣的定義，假設A是一個n階的方陣，如果存在一個矩陣B，使得A⋅B的結果是單位矩陣I，那麼就稱B是A的逆矩陣。
計算逆矩陣需要用到之前介紹過的代數餘子式，如果不清楚的同學可以回顧一下之前關於行列式的相關內容。
我們列舉出所有的代數餘子式，將這些餘子式組合成一個矩陣，這樣的矩陣稱為伴隨矩陣。定義如下：
通過上面的定義，我們可以看出來，伴隨矩陣也是一個n階的方陣。關於伴隨矩陣，有一個定理：
其中I是n階的單位矩陣，也即是正對角線全為1，其他位置均為0的方陣。
我們來試著證明一下這個定理：
顯然
也是一個n階的矩陣，令結果為B。我們寫出B矩陣當中的每一項Bij
當i=j時，
在上一篇文章當中，我們介紹過，矩陣中的某一行與它對應的代數餘子式的乘積為行列式的值：
這點其實沒什麼需要證明的，我們把式子展開就可以得到了。為了方便觀察，我們用三階行列式舉例。
我們令
我們以
為例：
接著，我們把代數餘子式展開：
根據我們之前關於代數餘子式的定義，這個式子其實是以下這個矩陣行列式根據第一行展開的結果：
再根據行列式的性質，如果一個n階的行列式當中存在某兩行或者某兩列相同，那麼行列式的值等於0。
同樣展開其他的Bij，我們可以證明：
所以B=|A|I，使用同樣的方法，也可以證明A∗A=|A|I
我們費這麼大力氣證明伴隨矩陣有什麼用呢？其實是為了求逆矩陣做準備。有了伴隨矩陣的這個性質，我們求逆矩陣就方便了。
在求解之前，我們先來看一下逆矩陣的定義。
假設存在方陣B，使得AB=BA=I，那麼就稱作B是A的逆矩陣。
在我們介紹逆矩陣的計算方法之前，需要先明確，逆矩陣不等於矩陣轉置。矩陣轉置的操作是將一個矩陣行和列互換，在線性代數當中，矩陣A的轉置記作AT，而A的逆矩陣記作A−1，看起來比較相似，很容易搞混。
我們之前證明了AA∗=|A|I，當矩陣A的行列式|A|不等於0時，那麼顯然有：
根據我們之前逆矩陣的定義：
如果|A|=0怎麼辦？
行列式等於0的矩陣稱為奇異矩陣，奇異矩陣沒有逆矩陣。所以一個矩陣有逆矩陣的前提就是非奇異矩陣。
以上就是逆矩陣的推導過程和計算方法，當然在實際的應用當中，我們並不需要如此麻煩。因為Python的numpy庫當中已經為我們封裝好了現成的計算工具，我們只需要直接調用即可，使用方法和之前的計算行列式基本一樣：
import numpy as np # 定義矩陣 a = np.mat(((3, 4), (2, 1)))
通過調用np.linalg.inv方法來得到逆矩陣：
需要注意的是，如果a是一個奇異矩陣，那麼計算逆矩陣時會報錯。所以我們在此之前，需要先計算矩陣的行列式，判斷是否是奇異矩陣。不清楚行列式計算方法的同學，可以回顧一下上一篇文章。
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參考資料 線性代數第五版（上海交大出版社）
