蒙特卡洛模擬（Python）深入教程

• 2020 年 9 月 21 日
• AI

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英語原文：Monte Carlo Simulation An In-depth Tutorial with Python

翻譯：大表哥、wiige

什麼是蒙特卡羅模擬？

蒙特卡羅方法是一種使用隨機數和概率來解決複雜問題的技術。 蒙特卡羅模擬或概率模擬是一種技術，用於了解金融部門、項目管理、成本和其他預測機器學習模型中風險和不確定性的影響。

風險分析幾乎是我們做出的每一個決定的一部分，因為我們在生活中經常面臨不確定性、模糊性和變化無常。 此外，即使我們擁有前所未有的資訊獲取渠道，我們也不能準確預測未來。

蒙特卡洛模擬使我們能夠看到決策的所有可能結果，並評估風險影響，從而在不確定的情況下更好地做出決策。

在本文中，我們將通過五個不同的例子來理解蒙特卡羅模擬方法。

資源: Google Colab Implementation | GitHub Repository

應用領域：

• 金融

• 項目管理

• 能量

• 製造業

• 工程學

• 研究和開發

• 保險

• 石油和天然氣公司

• 交通

• 環境

• 還有其他

舉例:

• 拋硬幣示例

• 用圓和平方估計PI

• 三門問題

• 蒲豐投針問題

• 為什麼賭場總是賺的？

a. 拋硬幣示例：

拋硬幣中獎的概率是1/2。但是，我們有沒有辦法從實驗上證明這一點呢？ 在這個例子中，我們將使用蒙特卡羅方法迭代地模擬拋硬幣5000次，以找出為什麼頭部或尾巴的概率總是1/2。如果我們重複拋硬幣很多很多次，那麼我們可以在概率值的準確答案上獲得更高的精確度。在這個例子中，我們將使用Monte-Carlo方法反覆模擬拋硬幣5000次，以找出頭部或尾部的概率始終是1/2的概率。

圖2：正面和反面，數學表示。

在拋硬幣時：

圖3：正面和反面硬幣的公式示例。

接下來，我們將用蒙特卡羅方法對這個公式進行實驗證明。

Python實現：

1.導入所需的庫：

圖4：為我們的拋硬幣示例導入所需的庫。

2.投幣功能：

圖5：一個簡單的函數，將結果隨機排列在0和1之間，頭部為0，尾部為1。

3.檢查函數輸出：

圖6：運行Coin_Flip()函數

4.主要功能：

圖7：計算概率並將概率值附加到結果。

5.調用main函數：

圖8：調用Monte Carlo主函數，並繪製最終值。

如圖8所示，我們顯示在5,000次迭代之後，獲得尾部的概率為0.502。 因此，這就是我們可以如何使用蒙特卡羅模擬來通過實驗找到概率的方法。

b.使用圓形和正方形估算PI：

圖9：圓形和正方形的簡單面積。

圖10：分別計算圓形和正方形的面積。

要估計PI的值，我們需要正方形的面積和圓的面積。 為了找到這些區域，我們將在表面上隨機放置點，並計算落在圓內的點和落在正方形內的點。 這將給我們一個估計的面積。 因此，我們將使用點數作為面積，而不是使用實際面積。

在下面的程式碼中，我們使用Python的Turtle模組來查看點的隨機放置。

python實現：

1.導入需要的庫

圖10：為我們的π示例導入所需的庫。

2.可視化這些點：

圖11：繪製圖形。

3.初始化部分必填數據：

圖12：初始化數據值。

4.主要功能：

圖13：實現主功能。

5.繪製數據：

圖14：繪製數據值。

6.輸出

圖15：使用蒙特卡羅方法的π近似。

圖16：值的數據可視化。

圖17：值的數據可視化。

如圖17所示，我們可以看到，經過5000次迭代後，我們可以得到PI的近似值。 另外，請注意，隨著迭代次數的增加，估計誤差也呈指數下降。

3. 三門問題：

假設你正在參加一個遊戲節目，你可以從三扇門中選擇一扇：一扇門後面是一輛汽車；另一扇門後面是山羊。 你選了一扇門，假設是1號門，主人，誰知道門後面有什麼，就打開另一扇門，比如說3號門，裡面有一隻山羊。 主人然後問你：你是堅持自己的選擇，還是選擇另一扇門？ 

選擇不同的門對你有好處嗎？  事實證明，從概率上說，打開門對我們有利。具體分析：最初，對於所有的三個門，得到車的概率(P)是相同的(P = 1/3)。  

圖18：三個門的模擬，展示了每個可能的結果。  

現在假設參賽者選擇了門1。接下來，主人打開第三扇門，裡面有一隻山羊。接下來，主持人問參賽者是否要換門？我們將看到為什麼轉換門更有利： 

圖19：門的圖示結果。  

在圖19中，我們可以看到在主人打開門3之後，擁有一輛車的最後兩個門的概率增加到2/3。現在我們知道第三扇門有一隻山羊，第二扇門有一輛車的概率增加到2/3。因此，換門更為有利。現在我們將使用蒙特卡羅方法來多次執行這個測試案例，並通過實驗的方式找出它的概率。  

Python 實現:

1. Import所需庫:  

圖20: 導入所需庫。

2. 初始化數據：

圖21: 初始化代表門的枚舉變數和存儲概率值的列表。

3. Main函數：

圖22: 用蒙特卡洛模擬來實現主函數。

4. 調用main函數：

圖23: 調用主函數模擬1000次博弈。

5. 輸出：

圖24: 得到堅持自己的選擇或換門的近似獲勝概率。

在圖24中，我們發現在1000次模擬後，如果我們換門，獲勝概率是0.669。因此，我們確信在本例中換門對我們更有利。

4. 蒲豐投針問題:

法國貴族Georges-Louis Leclerc,即蒲豐公爵在1777年提出了這樣一個問題[2] [3]：

若在一張繪有等距平行線的紙上隨意拋一根短針，求針和任意一條線相交的概率。

概率取決於方格紙的線間距(d)，和針長度(l)——或者說，它取決於l/d的比值。在這個例子里，我們可以認為針長度l≤d。簡而言之，我們假設了針不能同時相交於兩條不同的線。令人驚訝的是，蒲豐針問題的答案與PI相關。

這裡，我們將使用用蒙特卡洛法來解蒲豐投針問題，順便估計出PI的值。不過在此之前，我們要先展示一下解法是如何推導出來的，這樣會更有趣。

定理:

如果一根長為l的短針落在一張紙上，而紙上畫有距離d≥l的等距線，那麼針與任一條線相交的概率為:

圖25: 蒲豐投針定理。

證明:

圖26: 蒲豐投針問題的可視化。

首先，我們需要統計出與任意垂線相交的針的數量。若針與任意一條線相交，對於特定的θ值，針與垂線相交的最大和最小可能值為：

最大可能值:

圖27: 最大概率值。

最小可能值:

圖28: 最小可能值。

因此, 對於特定的θ值，針在垂線上的概率是:

圖29: 針與垂線相交的概率公式。

這個概率公式局限於特定θ值，在本實驗中，θ的範圍是0到pi/2。所以，我們需要對所有的θ值做一個積分，得到投針相交的實際概率。

圖 30: 對所有θ值積分的投針相交概率公式。

圖 31: PI的估計值。

由蒲豐投針問題來估計PI:

接下來，我們要用上面的公式來進行實驗求得PI值。

圖 32: 求PI值。

現在，因為我們已經知道了l和d的值，所以只要求得了P的值，我們就可以推知PI的值。而要得到概率P，必須要知道相交針數和總針數, 這裡的總針數是已知的。

下圖是計算相交針數的直觀圖解。

圖33: 可視化表示如何計算針的數量。

Python 實現:

Import 所需的庫:

圖34: 導入所需庫。

2. Main 函數:

圖35: 用蒙特卡洛方法模擬蒲豐投針。

3. 調用main函數:

圖36: 調用main函數模擬蒲豐投針。

4. 輸出:

圖 37: 使用蒙特卡洛方法模擬100次投針的數據。

如圖37所示，經過100次的模擬，蒙特卡洛法就能得出一個非常接近PI的值。

圖源: Pexels

5. 為什麼賭場總是賺的？

賭場是怎麼賺錢的？ 訣竅很簡單–「你玩得越多，他們賺的就越多。」 讓我們通過一個簡單的蒙特卡羅模擬示例來看看這是如何工作的。

考慮一個假想的遊戲，玩家必須從一袋籌碼中選擇一個籌碼。

規則：

• 袋子里有數字從1到100的籌碼。

• 用戶可以押注於偶數或奇數籌碼。

• 在這個遊戲中，10和11是特殊的數字。 如果我們賭偶數，那麼10就算奇數，如果我們賭賠率，那麼11就算偶數。

• 如果我們賭偶數，我們得了10，那麼我們就輸了。

• 如果我們賭的是奇數，我們得了11，那麼我們就輸了。

如果我們以賠率下注，我們獲勝的概率為49/100。 獲勝的概率為51/100。 因此，對於一個奇數下注，彩池優勢為= 51 / 100–49 / 100 = 200/10000 = 0.02 = 2％

如果我們打賭偶數，則用戶獲勝的概率為49/100。 獲勝的概率為51/100。 因此，對於一個奇數下注，彩池優勢為= 51 / 100–49 / 100 = 200/10000 = 0.02 = 2％

綜上所述，每下注1美元，就會有0.02美元下注。 相比之下，輪盤上最低的單一0優勢是2.5％。 因此，我們可以肯定，與輪盤賭相比，您在假想的遊戲中獲勝的機會更大。

Python 實現:

Import所需的庫:

圖38: 導入賭場模擬所需的庫。

2. 玩家下注:

圖39: 在下注奇數或偶數。

3. Main 函數:

圖 40: 使用蒙特卡洛方法模擬賭場行為。

4. 最終輸出:

圖41: 計算並展示計算結果。

5. 模擬1000次試試:

圖 42: 模擬1000次。

6. 下注數 = 5:

圖43:  下注5次時的結果可視化。

7.  下注數 = 10:

圖44: 下注10次時的結果可視化。

8.  下注數 = 1000:

圖45:  下注1000次時的結果可視化。

9.  下注數 = 5000:

圖46:  下注5000次時的結果可視化。

10.  下注數 = 10000:

圖47: 下注10000次時的結果可視化。

從上面的實驗中，我們可以看到，如果玩家在賭博中下注較少，那麼有得賺的機會就比較大。有時候實驗會得到負數，這意味著玩家輸得傾家蕩產負債纍纍，而不是單車變路虎。

請注意, 這些比例源於為促進理解的非真實場景，認不賭為贏。

結論:

就像任何預測模型一樣 模擬結果只有我們的估計值才是好的 重要的是要記住，蒙特卡洛模擬只代表概率而不是確定性。儘管如此，在預測未知的未來時，蒙特卡洛模擬是一個有價值的工具。

聲明：本文所表達的觀點僅代表作者本人，不代表CMU的觀點。這些文字並非為最終成品，僅為當下思考記錄以促進學習和交流。

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