線性代數的本質課程筆記-抽象向量空間

• 2019 年 10 月 6 日
• 筆記

這是本系列課程的最後一節，主要來重談一下什麼是向量。

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什麼是向量？以二維向量為例，可以認為他是一個平面內的一個箭頭，然後在坐標系下給它賦予了一組坐標，也可以理解為是一組有序的實數對，我們只是將他形象理解為平面內的一個箭頭。

但本節想討論一下既不是箭頭，也不是一組數字，但具有向量性質的東西，如函數。函數其實是另一種意義上的向量，如滿足向量加法：

同樣滿足數乘性質：

再來說一下函數的線性變換，這個變換接受一個函數，然後把它變成另一個函數，如導數：

一個函數變換是線性的，需要滿足什麼條件呢？先回顧一下線性的嚴格定義，它需要滿足如下的兩個條件：

求導是線性運算，因為它也滿足可加性和成比例：

接下來，我們嘗試用矩陣來描述求導，先把眼光限制在多項式空間中，整個空間中可以包含任意高次的多項式：

首先給這個空間賦予坐標的含義，這需要選取一個基，這裡更準確的說法是選擇一組基函數，一個很自然的想法是(b0(x)=1,b1(x) = x,b2(x) = x2….)，這組基函數的包含無限多個基函數，因為多項式的次數可以是無限的：

這樣，一個多項式函數可以表示成一組坐標，例如：

再比如：

更加通用的寫法是：

在這個坐標系中，求導是用一個無限階矩陣描述的，主對角線上方的次對角線有值，而其他地方為0，舉個例子：

這個求導矩陣是怎麼得到的呢？很簡單，對每個基函數進行求導，然後放在對應的列上即可，比如b2:

所以，乍一看矩陣向量乘法和求導是毫不相關的，但其實都是一種線性變換，但是有時候名字可能不太一樣：

哈哈，可以看到，數學中有很多類似向量的事物：

向量可以是任何事物，只要它滿足下面的八條公理即可：