线性代数的本质课程笔记-抽象向量空间

• 2019 年 10 月 6 日
• 笔记

这是本系列课程的最后一节，主要来重谈一下什么是向量。

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什么是向量？以二维向量为例，可以认为他是一个平面内的一个箭头，然后在坐标系下给它赋予了一组坐标，也可以理解为是一组有序的实数对，我们只是将他形象理解为平面内的一个箭头。

但本节想讨论一下既不是箭头，也不是一组数字，但具有向量性质的东西，如函数。函数其实是另一种意义上的向量，如满足向量加法：

同样满足数乘性质：

再来说一下函数的线性变换，这个变换接受一个函数，然后把它变成另一个函数，如导数：

一个函数变换是线性的，需要满足什么条件呢？先回顾一下线性的严格定义，它需要满足如下的两个条件：

求导是线性运算，因为它也满足可加性和成比例：

接下来，我们尝试用矩阵来描述求导，先把眼光限制在多项式空间中，整个空间中可以包含任意高次的多项式：

首先给这个空间赋予坐标的含义，这需要选取一个基，这里更准确的说法是选择一组基函数，一个很自然的想法是(b0(x)=1,b1(x) = x,b2(x) = x2….)，这组基函数的包含无限多个基函数，因为多项式的次数可以是无限的：

这样，一个多项式函数可以表示成一组坐标，例如：

再比如：

更加通用的写法是：

在这个坐标系中，求导是用一个无限阶矩阵描述的，主对角线上方的次对角线有值，而其他地方为0，举个例子：

这个求导矩阵是怎么得到的呢？很简单，对每个基函数进行求导，然后放在对应的列上即可，比如b2:

所以，乍一看矩阵向量乘法和求导是毫不相关的，但其实都是一种线性变换，但是有时候名字可能不太一样：

哈哈，可以看到，数学中有很多类似向量的事物：

向量可以是任何事物，只要它满足下面的八条公理即可：