模型之母：简单线性回归的代码实现
- 2019 年 11 月 4 日
- 笔记
模型之母：简单线性回归的代码实现
关于作者：饼干同学，某人工智能公司交付开发工程师/建模科学家。专注于AI工程化及场景落地，希望和大家分享成长中的专业知识与思考感悟。
0x00 前言
在《模型之母：简单线性回归&最小二乘法》中，我们从数学的角度理解了简单线性回归，并且推导了最小二乘法。
本文内容完全承接于上一篇，我们来以代码的方式，实现简单线性回归。话不多说，码起来
0x01 简单线性回归算法的实现
首先我们自己构造一组数据，然后画图
# 首先要计算x和y的均值 x_mean = np.mean(x) y_mean = np.mean(y) # a的分子num、分母d num = 0.0 d = 0.0 for x_i,y_i in zip(x,y): # zip函数打包成[(x_i,y_i)...]的形式 num = num + (x_i - x_mean) * (y_i - y_mean) d = d + (x_i - x_mean) ** 2 a = num / d b = y_mean - a * x_mean
下面我们就可以根据样本真实值，来进行预测。
实际上，我们是假设线性关系为： 这根直线，然后再根据最小二乘法算a、b的值。我们还可以假设为二次函数：。可以通过最小二乘法算出a、b、c
实际上，同一组数据，选择不同的f(x)，即模型，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线。
不同的数据，更可以选择不同的函数，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线。
下面让我们回到简单线性回归。我们直接假设是一条直线，模型是：
根据最小二乘法推导求出a、b的表达式：
下面我们用代码计算a、b：
y_hat = a * x + b plt.scatter(x,y) # 绘制散点图 plt.plot(x,y_hat,color='r') # 绘制直线 plt.axis([0,6,0,6]) plt.show()
在求出a、b之后，可以计算出y的预测值，首先绘制模型直线：
y_hat = a * x + b plt.scatter(x,y) # 绘制散点图plt.plot(x,y_hat,color='r') # 绘制直线plt.axis([0,6,0,6])plt.show()
然后进行预测：
x_predict = 6 y_predict = a * x_predict + b print(y_predict
5.2
0x02 向量化运算
我们注意到，在计算参数a时：
# a的分子num、分母d num = 0.0 d = 0.0 for x_i,y_i in zip(x,y): # zip函数打包成[(x_i,y_i)...]的形式 num = num + (x_i - x_mean) * (y_i - y_mean) d = d + (x_i - x_mean) ** 2 a = num / d
我们发现有这样一个步骤：向量w和向量v，每个向量的对应项，相乘再相加。其实这就是两个向量“点乘”
这样我们就可以使用numpy中的dot运算，非常快速地进行向量化运算。
总的来说：
向量化是非常常用的加速计算的方式，特别适合深度学习等需要训练大数据的领域。
对于 y = wx + b, 若 w, x都是向量，那么，可以用两种方式来计算，第一是for循环：
y = 0 for i in range(n): y += w[i]*x[i] y += b
另一种方法就是用向量化的方式实现：
y = np.dot(w,x) + b
二者计算速度相差几百倍，测试结果如下：
import numpy as np import time a = np.random.rand(1000000) b = np.random.rand(1000000) tic = time.time() c = np.dot(a, b) toc = time.time() print("c: %f" % c) print("vectorized version:" + str(1000*(toc-tic)) + "ms") c = 0 tic = time.time() for i in range(1000000): c += a[i] * b[i] toc = time.time() print("c: %f" % c) print("for loop:" + str(1000*(toc-tic)) + "ms")
c: 249981.256724 vectorized version:0.998973846436ms c: 249981.256724 for loop:276.798963547ms
对于独立的样本，用for循环串行计算的效率远远低于向量化后，用矩阵方式并行计算的效率。因此：
只要有其他可能，就不要使用显示for循环。
0x03 自实现的工程文件
3.1 代码
还记得我们之前的工程文件吗？创建一个SimpleLinearRegression.py，实现自己的工程文件并调用
import numpy as np class SimpleLinearRegression: def __init__(self): """模型初始化函数""" self.a_ = None self.b_ = None def fit(self, x_train, y_train): """根据训练数据集x_train,y_train训练模型""" assert x_train.ndim ==1, "简单线性回归模型仅能够处理一维特征向量" assert len(x_train) == len(y_train), "特征向量的长度和标签的长度相同" x_mean = np.mean(x_train) y_mean = np.mean(y_train) num = (x_train - x_mean).dot(y_train - y_mean) # 分子 d = (x_train - x_mean).dot(x_train - x_mean) # 分母 self.a_ = num / d self.b_ = y_mean - self.a_ * x_mean return self def predict(self, x_predict): """给定待预测数据集x_predict，返回表示x_predict的结果向量""" assert x_predict.ndim == 1, "简单线性回归模型仅能够处理一维特征向量" assert self.a_ is not None and self.b_ is not None, "先训练之后才能预测" return np.array([self._predict(x) for x in x_predict]) def _predict(self, x_single): """给定单个待预测数据x_single，返回x_single的预测结果值""" return self.a_ * x_single + self.b_ def __repr__(self): """返回一个可以用来表示对象的可打印字符串""" return "SimpleLinearRegression()"
3.2 调用
下面我们在jupyter中调用我们自己写的程序：
首先创建一组数据，然后生成SimpleLinearRegression()的对象reg1，然后调用一下
from myAlgorithm.SimpleLinearRegression import SimpleLinearRegression x = np.array([1.,2.,3.,4.,5.]) y = np.array([1.,3.,2.,3.,5,]) x_predict = np.array([6]) reg = SimpleLinearRegression() reg.fit(x,y)
输出：SimpleLinearRegression()
reg.predict(x_predict) reg.a_ reg.a_
输出：array([5.2]) 0.8 0.39999999999999947
y_hat = reg.predict(x) plt.scatter(x,y) plt.plot(x,y_hat,color='r') plt.axis([0,6,0,6]) plt.show()
0xFF 总结
在本篇文章中，我们实现了简单线性回归算法的代码，并且使用了向量化运算，事实证明，向量化运算能够提高运算效率。
同时我们发现，只要数学公式推导清楚了，实际写代码时没有太多难度的。
那么我们思考一个问题，在之前的kNN算法（分类问题）中，使用分类准确度来评价算法的好坏，那么回归问题中如何评价好坏呢？
