除了歐拉公式，這8個數學公式也足夠美麗且神奇

• 2020 年 2 月 11 日
• 筆記

到底哪個是

最美的公式

1

概率分佈公式

它的圖像如下：

我對這個概率分佈公式的認識是在上《普通物理》（我讀書時大學物理叫做普通物理）時，記得是講解氣體分子的碰撞。

參加工作後，我在研發彩色玻璃着色技術時，需要把彩色玻璃粉料噴洒在紅熱的玻璃板帶上，怎麼噴也不均勻，總是中間濃兩側稀，且怎麼調節噴塗設備的噴口都沒有用。就在一籌莫展時，我到圖書館看書，偶然在一本數學書中看到了這個概率公式，突然明白我的噴塗設備出了什麼問題了：原來這就是概率分佈的特徵，是自然規律。後來重新設計了噴頭結構，解決了這個難題。

雖然概率分佈公式本身並不美，可是用它改進了我的彩色玻璃噴塗設備，製作出來的玻璃卻是美麗的：

2

著名的Mandelbrot集

這個式子一點也不美，但它的圖像：

它的圖像描繪了整個世界！！！

1980年當B.B.Mandelbrot第一次畫出Mandelbrot集（以下簡稱M集）的圖形以來，M集被認為是數學上最為複雜的集合之一，並吸引了大批科學家。然而至今在數學上還有很多沒有解決的問題，如此複雜的現象出現在如此簡單的、經典的迭代中，因此M集被稱為「數學恐龍」。今天，M集已經成為混沌和分形最為重要的標誌之一。

簡單講一下：

1是M集原圖，象個甲殼蟲。 2是在甲殼蟲頸部放大，我們看到有數不清的芽孢，而且這些芽孢也呈現甲殼蟲的模樣。這就是分形的特徵：細節與總體近似，叫做自相似。 3把這些芽孢放大，我們看到甲殼蟲芽孢的細節。 4圖把芽孢及周圍細節再次放大，我們看到了環繞結構。 5圖和6圖把環繞結構兩次放大，我們看到了驚人的細節結構。 7圖中我們似乎又看到了甲殼蟲。 8圖看到甲殼蟲周圍的細節。 9圖把甲殼蟲頭部放大，幾乎和1圖類似，這就是分形的自相似。 10圖再次把甲殼蟲頸部放大，我們看到了芽孢結構。 11和12把芽孢放大，我們看到了環繞結構。 13是環繞結構外圍的一個點被放大。 14中我們看到雙環繞結構。 15圖中我們似乎再次看到了它內部的甲殼蟲結構。

注意幾點：

1.M集中所有的點都是連通的；

2.M集中存在自相似現象，這是分形的特徵；

3.第15圖叫做Julia集。J集與M集存在密切的相關性。

有人說，M集是一本書，而J集只是其中的一頁。並且J集也存在自相似現象。

我在學校圖書館看到一本很老的書《混沌、分形及其應用》，是王東生和曹磊編著的，中國科學技術大學出版社出版。我不知道這本書是否有再版。有興趣的知友可以去看這本書。

我們看這頭貓，它也是分形。我們看到了自相似現象：

還有這幅圖，我們能看到自相似現象，以及它的芽孢結構：

3

消逝量的鬼魂

這個公式，讀過微積分的人無人不知無人不曉，是最牛的公式之一。

這個公式還有一個特殊的意義，叫做消逝量的鬼魂。據說，英國某位著名大主教說這個公式中出現的無窮小量代表着鬼魂。他說：我們在用這個公式證明時，一會兒讓無窮小量等於零，一會兒又不讓它等於零，可見無窮小量介於「在」與「不在」之間，可不就證明了鬼魂的存在嗎？

後來，經過柯西等人的努力，用極限論的方法證明了無窮小量是以零為極限的變量，由此徹底地摒棄了鬼魂說。

另外，與這個公式有點關係的另外一個公式——牛頓-萊布尼茨公式，甚至還引起引起了國家之間的口水戰。

牛頓-萊布尼茨公式的內容是一個連續函數在區間 [ a，b ] 上的定積分等於它的任意一個原函數在區間[ a，b ]上的增量。牛頓在1666年寫的《流數簡論》中利用運動學描述了這一公式，1677年,萊布尼茨在一篇手稿中正式提出了這一公式。因為二者最早發現了這一公式，於是命名為牛頓-萊布尼茨公式。

由於牛頓是英國人，萊布尼茨是德國人，兩個國家當時又是敵對關係，於是圍繞發明權雙方的科學家發生爭執，一直鬧到兩國的皇帝那兒，兩位皇帝也爭執不休，甚至以發動戰爭來威脅。這件事最後當然擺平了。可見，這個公式還是很有點歷史價值的。

4

麥克斯韋公式

麥克斯韋方程組，是經典物理學的集大成者，也是大學物理中的精華和難點，而其應用也到了無所不在的程度。只要存在電磁現象，就一定要用到它，無論是手機，還是微波爐，或者是斷路器（電磁操動和電磁脫扣器），甚至是高鐵和動車，麥克斯韋方程組的運用無所不在。

從麥克斯韋方程組可以推導出歐姆定律，也許歐姆定律應當改為歐姆定理。歐姆定律U=IR在電學中的運用無所不在；從麥克斯韋方程組可以推出電磁電動力公式

，是計算電磁力的最基本公式。

曾經看過一本書，叫做《從牛頓到愛因斯坦》，書里把愛因斯坦仔細研究麥克斯韋理論的原因和過程解釋得惟妙惟肖，讓人深受啟發。

難怪把麥克斯韋方程組列入改變人類命運的10個最偉大方程之中，當然就是最牛的公式之一了。

5

勾股定理

或者叫做畢達哥拉斯定理

勾股定理，它的應用已經到了無法統計的地步。我們看黃鶴樓的屋檐角和尖頂角，遠處電視塔塔身的斜角，無以計數的屋頂傾角，可不都與勾股定理有關嗎？

看下圖：

我們看到熱水杯頂蓋的斜角，筆記本顯示器的最大張角，書本封面的長寬比，這些都與勾股定理有關。還有ABB中A字兩斜邊的傾角，不知道和勾股定理有沒有關係？

最有趣是公司一位德國工程師，他用遊標卡尺來量自己的鼻子，然後用勾股定理和正弦函數，計算出自己鼻子相對顏面的角度，以證明自己鼻子有多大。儘管有點好笑，但這也是勾股定理的一項運用。

我們再來看看分形三角形。它裏面有多少等邊三角形和直角三角形？它們和勾股定理有關嗎？

勾股定理，從古希臘時代就有了，它應當是最牛公式之首。

6

斐波那契黃金分割數列

也即1、1、2、3、5、8、13、21、……

F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）

斐波那契數列很有意思，它的後項等於前兩項之和。並且，斐波那契數列與一道題關聯起來了：

斐波那契數列在自然界有大量的實例，在計算中也有許多運用。

我們看向日癸的花盤：

花盤中的葵花子排列就是按斐波那契數列排布的。還有菊花，甚至菠蘿和松子的排列也是。

據說，連海螺內部的螺旋也是。

有意思的是，雖然斐波那契數列是用自然數的排列，但它的通項公式卻用無理數來表達，並且隨着項數增大，它的後項與前項之比越來越接近黃金分割數0.618。於是，裴波那契數列與黃金分割掛上了鉤。

我們看斐波那契數列後項與前項之比：

1/1=1，1/2=0/5，2/3=0.666……，5/5=0.6，5/8=0.625，……，

46368/75025=0.6180339886……。

我們來簡單證明：

根據斐波那契數列的定義，有：

我們在上式的兩邊同時除以

，得到下式：

，設此式為1式。 我們先假設首項的極限存在，也即：

，於是有：

。 我們把結果代入1式，得到：

也即：

我們已經知道，

，求解上式：

這個結果恰好就是黃金分割之比。

據說達芬奇特別喜歡黃金分割數。於是在電影《達芬奇密碼》中，黃金分割數成了電影的主線之一。

某次我到銀行辦事，一位老人家不知該如何選擇銀行卡密碼，他說生日日期和身份證後六位都有可能泄密。我給他提建議，就用斐波那契數列的前六項吧，又好記，又不容易泄密，老人家欣然同意。至於這位老人家最後選什麼密碼，不得而知。

0.618這個數，與優選法有關。

不久前看華羅庚教授的傳記，看到他在年齡已經很大時，在全國到處宣講優選法，其核心就是0.618。0.618曾經在全國掀起一股技術革新浪潮，不管是選種，還是配方，甚至還有學生成績歸類，似乎都用0.618來分類優選。

有點意思吧。

7

有趣的時鐘鐘面刻度分析

這個鐘面有點意思，它牽涉到許多有趣的數學公式。

1點鐘： 1點鐘其實是二進制的表示法。

，也即右邊的第一位

位。

2點鐘：

3點鐘：

ASCII碼的表達式。ASCII碼錶格如下：

因此有：

4點鐘：

32除以7，餘數是4。

5點鐘：

5點鐘就是前面的斐波那契數的應用。

6點鐘：

7點鐘：

8點鐘：

這是二進制數。其中空心圓為1，實心圓為0，於是有：

9點鐘：

這是4進制數。

10點鐘：

11點鐘：

16進制數的B就是十進制數的11。在MODBUS-RTU通信格式中必須加16進制數的後綴H。例如220V的電壓可以寫為：0XDCH。

十六進制數：

12點鐘：

這個鐘真的很有意思，考到這麼多的數據格式，以及各種矩陣計算和斐波那契數的計算。

8

擺線方程曲線

擺線方程曲線有一個特點：我們用擺線構成滑雪坡道，則不管在這條坡道的任何地方開始下滑，到達終點的時間都是一樣的。

如果真有這樣的滑雪場滑道存在，非氣死滑雪運動員不可！