一個積分

\[\dfrac{4\pi}{3}\vec{x}=\int\dfrac{\vec{x}-\vec{x}’}{|\vec{x}-\vec{x}’|^{3}}{\rm d}^{3}\vec{x}’\ ,
\]

直接計算右邊比較麻煩，可以選一個坐標系用分量做，也可以換成球坐標再把體積元用雅科比行列式變一下，但是也非常麻煩。下面證明這個等式是對的，而不直接計算。

首先我們知道

\[4\pi=-\int_{V}\nabla^{2}\dfrac{1}{r}{\rm d}^{3}V=\int\nabla_{x}\cdot\dfrac{\vec{x}-\vec{x}’}{|\vec{x}-\vec{x}’|^{3}}{\rm d}^{3}\vec{x}’\ ,
\]

那麼

\[\nabla_{x}\cdot(\dfrac{4\pi}{3}\vec{x}-\int\dfrac{\vec{x}-\vec{x}’}{|\vec{x}-\vec{x}’|^{3}}{\rm d}^{3}\vec{x}’)=0\ ,
\]

因此括號內必須是常矢量，然後當\(\vec{x}=0\)時得到括號內等式為 0，因此原等式成立。

本來希望能有計算出右邊的好方法，但是沒有找到，但至少證明了等式成立，以後也可以放心地使用了。