一个积分

\[\dfrac{4\pi}{3}\vec{x}=\int\dfrac{\vec{x}-\vec{x}’}{|\vec{x}-\vec{x}’|^{3}}{\rm d}^{3}\vec{x}’\ ,
\]

直接计算右边比较麻烦，可以选一个坐标系用分量做，也可以换成球坐标再把体积元用雅科比行列式变一下，但是也非常麻烦。下面证明这个等式是对的，而不直接计算。

首先我们知道

\[4\pi=-\int_{V}\nabla^{2}\dfrac{1}{r}{\rm d}^{3}V=\int\nabla_{x}\cdot\dfrac{\vec{x}-\vec{x}’}{|\vec{x}-\vec{x}’|^{3}}{\rm d}^{3}\vec{x}’\ ,
\]

那么

\[\nabla_{x}\cdot(\dfrac{4\pi}{3}\vec{x}-\int\dfrac{\vec{x}-\vec{x}’}{|\vec{x}-\vec{x}’|^{3}}{\rm d}^{3}\vec{x}’)=0\ ,
\]

因此括号内必须是常矢量，然后当\(\vec{x}=0\)时得到括号内等式为 0，因此原等式成立。

本来希望能有计算出右边的好方法，但是没有找到，但至少证明了等式成立，以后也可以放心地使用了。