奇偶性與魔術（一）——奇偶性的數學本質

• 2019 年 10 月 8 日
• 筆記

我們發文章的頻率不高，一周一篇原創的節奏。一是因為本人才疏學淺，不那麼能隨意口吐蓮花，另外我也相信，厚積才能薄發，因為數學魔術這個小眾領域找到一些資料，思考出一些令我滿意的創新點不是那麼容易，有時候短短的一篇文章需要閱讀大量資料和自我思考才能完成，各位客官，久等了！

之前的文章中，我們陸續介紹過對稱關係，反函數，恆等式等一些高度抽象的數學概念，而今天我們要說的奇偶性是上面這些性質的一個具體體現，由此又可以衍生出一些新的概念來加深理解。最後，這些不為人知的數學性質加上魔術的藝術包裝，就變成了令人着迷的數學魔術了。

奇偶性定義

奇偶性是自然數的一個重要性質，考察的是一個數是否能被2整除。其天然地把自然數劃分為兩個對立的集合，並且直觀上看，他們的順序位置交替出現：

圖1 奇偶數定義和關係

注意，這裡本質的定義是基於取模操作得到的，且取mod的是有意義的最小的正整數2（mod1相當於啥也沒做），也正是這個值，決定N會被劃分為多少個子集。且2有着及其特殊的性質，我們一點點來看。

奇數和偶數的運算性質

我們很小的時候學數學的時候一定學過這些關於奇偶性的四則運算性質：

加減運算：

Odd ± Odd = Even

Odd ± Even = Odd

Even ± Old = Odd

Even ± Even = Even

乘法運算：

Odd * Odd = Odd

Odd * Even = Even

Even * Odd = Even

Even * Even = Even

注意，他們並不是真的運算表達式，而是說明兩個集合的數經過運算之後的結果的性質會在哪個集合內，沒有理解這一點，這些公式就只能死記硬背了。

其實，在心中默默地找兩個數算一下，也不覺得這裏面能有多高深的內容。但是仔細觀察後卻能發現一些顯而易見但是不知道怎麼說清楚的規律：

1. 加和減對奇偶性沒有影響，性質不變；

2. 奇數的加減改變原來數的奇偶性；

3. （被）乘數只要一個是偶數，那麼乘積結果就是偶數；

這些規律想來容易理解，但好像也說不出個所以然來，為什麼是對的呢？

這個說深了就涉及到抽象代數里的群論了。

即，根據上面對奇偶性的定義，奇偶數兩個集合帶上加法，從生成角度，偶數是Z的子群，而奇數是其唯一陪集，故其構成的商群因其是正規子群而存在，恰好構成一個C2群（也同構於D1群），這樣上面的性質就顯而易見了。

好了，知道你可能不知道這一段在說什麼，我們簡單解釋一下。

本篇不會介紹群論里更高深的理論，僅就本問題相關的必要內容展開論述。

我們想像有這麼一個集合，有一個基本元素e，表示起始位置或空集，還有一個生成元素r，表示執行一次操作或者添加元素，其上有一個加法運算「+」，滿足r * n = nr = e，這裡的*是數量乘法，是已經定義好的「+」的簡便運算。這個性質即表示這裡定義的「+」是個模加法，相加以後要去取模，使結果可以由0~(n-1)的整數來代表。那麼，由這個基本元素和生成元生成的集合為Cn = <(e, r) | n * r = e> = {e, r, 2r,……,(n – 1)r}，即Cyclic Group。

當然，作為群，只需要有單位元，逆元，封閉性和結合律就可以了，Cylic Group可證明滿足，而且其還具有交換性，是個Abelian Group。

有人問為什麼要搞個模加法，其實運算都是為實際真實場景服務的，比如時鐘的加法，多邊形經過旋轉以後的位置的描述，基本的加法都不符合其特性，模加法恰好是描述他們的數學模型，而這裡我們探討奇偶數的加減法性質，恰好在結構上和這個問題石凳通的，也要用到模加法。

回到我們的問題，以上定義的「+」為模加法，恰好，當模為2的時候完美契合奇偶性的描述。即C2=({e, r}, +)，有r * 2 = e。那麼，全體偶數集合為e，奇數集合為r，「+」的含義為：

任意取兩個加數集合中的元素作加法，得到的結果所屬的集合。

之前我說我們小學學的那幾個奇偶性的四則運算性質里的加減號不是一般的四則運算符號就是這個意思，它的真實含義是上面這個。而這個含義下，符合上面說的C2群的性質，故其規律是顯而易見的（與前面的性質一一對應）：

1. 對於C2群，顯然e = – e，由r * 2 = 2r= e有r = – r，換句話說，加減法這對逆運算是相等的。即這個操作是二階對稱的（僅指2r = e這一點）。即加減運算在奇偶性意義下是等同的（f ^ – 1(x) = f(x)），且任意數的加法做兩次以後回歸本身（x = ff(x)）；

注意哦，這裡是指的奇偶性回歸本身，而且兩次f只需要是同為奇數或偶數就行了，不要求是同一個數！

這個性質當且僅當模為2的時候成立，即r的周期為2，形成的就是二階對稱操作，即兩次複合以後恢復原狀（不是指的整體的不變性，而是描述不變性的群內的操作的性質），或者正反操作完全等同。當r的周期為1，即r = e，或言之x = f(x)，此時對象x稱為操作f的不動點，而x的取值範圍往往是重點，故這是一個變量的性質，不同於前面的函數的性質。再推廣之，若r的周期為3及以上，那麼性質仍然對應成立只是沒有不動點的對象對稱性和對稱關係的關係二階對稱性來得美觀和簡潔了。

2. 奇數集合就是群中的的r元素，相當於1，顯然它的加減等價地改變原來的值，而偶數是e元素，即0，加減以後原地不動；

3. 乘積運算我們理解成數量乘法，那麼被乘數是偶數則表示e元素累加若干次，結果不變；乘數是偶數時，由於每兩次運算都可以拆解為互相抵消的逆元算，則無論被乘數是多少都不改變結果，況且我們還有交換律打底。

最後用數學語言爽快地再說一遍：

Z是一個在數量加法下的Abel群和加上乘法上的幺半群（monoid）的環，2Z由於丟失了乘法的單位元而不再是環但仍然是群，稱為子群。2Z + 1是該群唯一的陪集（coset），而其陪集和本身又構成群，稱為商群（quotient group）Z / 2Z = Z2，其存在的條件是原子群是個正規子群。所以我們的奇偶性說白了就是Z群的一個正規子群2Z和唯一陪集2Z + 1一起，他們構成的商群同構於C2 / D1。

而前面關於奇偶的運算定律說的就是：

加減法：

Z2是一個+上的Abel群，故有逆運算，偶數是+的單位元，奇數是生成元，滿足二階對稱性（r ^ 2 = e）。

乘法：

Z2還是一個+和*上的交換環（commutativering），但不是除環（division ring, inverse of * exists except 0），0是 * 上的消去子（annihilator，或者叫零化因子）。

以上用到的僅僅是群的最基本的定義和性質。簡單提到一下，群是研究集合對象及其運算結構的數學，比如典型的對稱，指的是某些操作下的不變性，而這些操作能夠形成的元素全集連同操作本身天然就是群，滿足其性質。對稱群對應的集合使得原圖形在任何群內操作上都保持不變，這是漂亮的幾何圖形形成的根源，也是他們的共同本質。

而前面講的對稱關係僅僅是群內元素的運算性質：二階對稱，而還可以有很多其他更低或更高階的，以及其他的對稱結構，這個我們後面有文章再詳細說明。而一旦深入到這個結構，就和該對象本身無關了，就像我用5表示這一筐棗子的數量和另一框6個棗子的相加，那相加運算和棗子就沒有關係了，已經完成數學建模變成數學運算了。比如，這裡的Cn群的實現可以是模n加法（不考慮進位的位加法），也可以是類似上述的定義，甚至是一個待旋轉的幾何圖形。他們是在群的結構上同構的，但是表象卻大不相同。

這些就是我對奇偶性在一個高維度上的理解和解釋。當我們滿足於模糊的理解時，總是容易驕傲自滿，但是當靜下心來思考問題的來由，會發現還有大把的寶藏等待着我們來挖掘。

我痴迷於把我看到的表面的世界一點點抽象掉。

數學到魔術

說了這麼多奇偶性，那麼哪一條才最值得使用到魔術里成為殺招呢？當然是以2為周期的操作上的二階對稱性了！

1. 兩次相同的操作就可以恢復原狀，可以直接控制結果的奇偶性；

2. 任意選擇加減操作卻不會改變結果的奇偶性；

說白了，還是對稱性，而且是C2群的對稱性的兩種經典使用，無論是恢復原狀，還是逆操作的相等性，都是在看似隨機條件下製造恆等條件的絕佳方法。回顧一下之前的數學魔術文章，尤其是Reverse原理背後的數學和魔幻藝術為代表的這篇，大多都是利用的這個二階對稱性來構造的奇蹟。而更高階的對稱性的使用會稍微有些困難，而更低階的不動點性質也值得挖掘，我們後面再單獨介紹。