高等数学——讲透求极限两大技巧，夹逼法与换元法
- 2020 年 3 月 5 日
- 笔记
今天的文章聊聊高等数学当中的极限，我们跳过极限定义以及一些常用极限计算的部分。我想对于一些比较常用的函数以及数列的极限，大家应该都非常熟悉。
大部分比较简单的函数或者数列，我们可以很直观地看出来它们的极限。比如
，当n趋向于无穷大的时候，
的极限是0，再比如当n趋向于无穷大的时候，
的极限也是无穷大，等等。
但是对于一些相对比较复杂的函数，我们一时之间可能很难直观地看出极限，因此需要比较方便计算极限的方法，今天的文章介绍的正式这样的方法——夹逼法和换元法。
夹逼法在数学领域其实非常常用，在中学的竞赛当中经常出现。夹逼法的原理非常简单，对于某一个函数f(x)，我们知道它的表达式，但是很难确定它的范围。我们可以先找到另外两个范围比较容易确定的函数g(x)和h(x)，然后证明:
，通过h(x)和g(x)的范围来夹逼f(x)的范围。
说白了，就是直接求解不方便的函数，我们通过用其他容易计算的函数来替代的方法来间接求解，类似于“曲线救国”。
明白了夹逼法的概念之后，我们再来看一下它在数列极限当中的应用。
假设当下存在数列
我们需要确定它的极限，我们找到了另外两个数列
和
。如果它们满足以下两个条件：
那么，数列
的极限存在，并且
。从直觉上来看，上面的式子应该非常直观，但是我们还是试着从数学的角度来证明一下，顺便回顾一下极限的定义。
证明过程如下：
根据极限的定义，对于数列
而言，对于任意ϵ都存在
，使得对于任意：
，都有
。那么就称数列
的极限是a。
由于数列
的极限是a，所以存在
使得
时，
。同理，存在
使得
时，
。那么对于
显然应该有：
并且
。
我们将绝对值展开，可以得到：
根据极限的定义，显然可以得到数列
的极限也是a。
我们利用这个方法来看一个书上的例子：
我们都知道当x趋向于0的时候，x和sinx都趋向于0，但是
的极限是多少呢？如果猜测一下，两个无穷趋向于0的极限的比值应该是1才对，但是这个只是我们的直观猜测，想要严格证明，还需要使用数学方法。
这个证明就用到了我们刚才说的夹逼法，并且非常巧妙，让我们来看一张下面这张图。
我们假设夹角∠AOB=x，这里采用弧度制。我们令圆心OB的长度等于1，那么BC=sinx，OC=cosx，AD=tanx。我们下面要用这张图里的三角形面积关系，显然：
的面积等于
，
的面积等于
。
这两个都很容易得出，直接套用三角形面积公式即可。扇形的面积看起来麻烦一些，但其实也很简单，在几何当中，扇形可以看成是特殊的三角形。我们把弧长看成是底面，半径可以看成是高，那么扇形的面积等于
*弧长*半径。所以扇形AOB的面积等于
。
我们列出来，可以得到：
即：
其中
，所以我们可以不等号两边同时除以sinx，得到：
由于当x趋向于0的时候sinx,cosx都大于0，所以我们可以对不等式互换分子分母，得到：
到这里已经结束了，因为我们根据余弦的函数图像可以很容易看出来，当x趋向于0的时候，cosx趋向于1.但为了严谨起见，我们当做不知道这点，继续用数学的方法证明：
我们来计算当x趋向于0的时候，1−cosx的取值范围，当x趋向于0的时候cosx<1，所以1−cosx>0。我们再对1−cosx变形，这里要引入三角函数当中的和差化积公式：
由于cos0=1，带入和差化积可以得到：
我们之前通过面积表示的方法已经证明了当x趋向于0的时候sinx<x，所以
。当x趋向于0的时候，显然
也趋向于0，所以我们可以证明
的极限是1。
我们接着来看换元法，在书里被称为复合函数的极限运算法则。假设我们有y=f[g(x)]，我们令u=g(x)。如果
，
，并且在x趋向于x0时，有g(x)≠u0，那么：
我们使用极限的定义同样可以很方便地证明它的正确性，这里就不证明了，感兴趣的同学可以试着证明一下。
了解了符合函数的极限运算法则之后，我们再来看一个例子巩固一下。
和上面的例子类似，我们这次求一下:
。
和上面那题一样，我们先使用和差化积对极限的分子进行变换，可以得到：
我们令
，那么这个极限就可以转化成复合函数极限了。
，
。因为当x趋向于0的时候，u也趋向于0，当u趋向于0的时候，
趋向于1，所以最终的极限就是1。
通过夹逼法和换元法，我们可以很方便地求解一些看起来比较棘手的极限。这也是我们求极限的过程当中使用非常频繁的方法。
原本周四应该是概率统计专题，但是在我写文章的过程当中我发现其中涉及到了高等数学当中大量的知识。我想不仅没有相关知识储备的读者读起来困难，我自己在写的过程当中也会遇到一些生疏的知识点。强行囫囵吞枣效果并不好，并且有同学反映在一些模型的推导当中也用到高数的积分和求导的知识。所以决定将概率和统计相关内容延后，周四专题改成高数。
原创不易，希望我的文章可以给你带来收获。喜欢的话，请顺手点个在看或者转发吧，你们的支持是我最大的动力。
参考资料 同济大学《高等数学》第六版 程序员的数学
