浅析迷宫搜索类的双向bfs问题(附例题解析)

2020 年 2 月 26 日
笔记

前言

在搜索问题中，以迷宫问题最具有代表性，无论是八皇后的回溯问题，还是dfs找出口，bfs找最短次数等等题目的问题。在我们刚开始ac的时候、可能有着很多满足感！感觉是个迷宫问题咱么都可以给他这么搜出来！！

然而，当数据达到一定程度，我们使用简单的方法肯定会爆炸的，各种TLE(超时)，不分析原因还会一直提交一直TLE。就可能需要一些特殊的巧妙方法处理，比如各种剪枝、优先队列、A*、dfs套bfs，又或者利用一些非常厉害的数学方法比如康托展开(逆展开)等等。而今天，我们谈谈双向bfs。(通常可以将时间复杂度优化为原时间的根号级别)

bfs类问题

bfs又称广度优先搜索

估计大部分人第一次接触bfs的时候是在学习数据结构的二叉树的层序遍历！借助一个队列一层一层遍历。
第二次估计就是在学习图论的时候，给你一个图，让你写出一个bfs遍历的顺序。

此后再无bfs…

而很多笔试面试还是其他机试其实对bfs的要求远远不止那么低的，需要能够处理一些小问题、写出对应代码。而且bfs可以处理很多问题，很多dfs搜索能够解决的问题bfs也能解决很多(相反也成立)，并且很多跟状态有些关系的用bfs更好控制，因为bfs借助的是一个队列实现，队列中储存节点就可以保存一些节点的状态。

不过bfs并不是万能的，具体问题要看迷宫的大小的，迷宫长宽没增加一个数，那么这个数量级增加是非常大的，因为搜索次数大概和边长的指数级别有关系。当然这里不详细介绍bfs了，大家可以看以前的一篇文章。数据结构与算法—深度、宽度优先(dfs,bfs)搜索

双向bfs

什么样的情况可以使用双向bfs来优化呢?其实双向bfs的主要思想是问题的拆分吧，比如在一个迷宫中可以往下往右行走，问你有多少种方式从左上到右下。

正常情况下，我们就是搜索遍历，如果迷宫边长为n，那么这个复杂度大概是2^n^级别.
但是实际上我们可以将迷宫拆分一下，比如根据对角线(比较多)，将迷宫一分为二。其实你的结果肯定必然经过对角线的这些点对吧！我们只要分别计算出各个对角线各个点的次数然后相加就可以了！
怎么算？ 就是从(0,0)到中间这个点mid的总次数为n1，然后这个mid到(n,n)点的总次数为n2，然后根据排列组合总次数就是n1*n2(n1和n2正常差不多大)这样就可以通过乘法减少加法的运算次数啦！
简单的说，从数据次数来看如果直接搜索全图经过下图的那个点的次数为 n1 * n2 次，如果分成两个部分相乘那就是n1+n2次。两者差距如果n1,n2=1000左右，那么这么一次差距是平方(根号)级别的。从搜索图形来看其实这么一次搜索是本来一个n*n大小的搜索转变成n次(每次大概是(n/2) * (n/2)大小的迷宫搜索两次)。也就是如果18*18的迷宫如果使用直接搜索，那么大概2^18次方量级，而如果采用双向bfs，那么就是2^9这个量级。

例题实战

题目链接：http://oj.hzjingma.com/contest/problem?id=20&pid=8#problem-anchor

分析：对于题目的要求还是很容易理解的，就是找到所有的路径种类，再判断其中是对称路径的有几个输出即可！

对于一个普通思考是这样的，首先是进行dfs，然后动态维护一个字符串，每次跑到最后判断这个路径字符串是否满足对称要求，如果满足那么就添加到容器中进行判断。可惜很遗憾这样是超时的，仅能通过40%的样例。

接着用普通bfs进行尝试，维护一个node节点，每次走的时候路径储存起来其实这个效率跟dfs差不多依然超时。只能通过40%数据。

接下来就开始双向bfs进行分析！

既然只能右下，那么对角线的那个位置的肯定是中间的那个字符串的！它的存在不影响是否对称的(n*n的迷宫路径长度为n-1 + n为奇数).
我们判断路径是否对称，只需要判断从(1,1)到对角节点k(设为k节点)的路径有没有和从(n,n)到k相同的。如果有路径相同的那么就说明这一对构成对称路径
在具体实现上，我们对每个对角线节点可以进行两次bfs(一次左上到(1,1),一次右下到(n,n)).并且将路径放到两个hashset(set1,set2)中，跑完之后用遍历其中一个hashset中的路径，看看另一个set是否存在该路径，如果存在就说明这个是对称路径放到 总的hashset(set) 中。对角线每个位置都这样判断完最后只需要输出总的hashset(set)的集合大小即可！

ac代码如下：

import java.util.ArrayDeque;  import java.util.HashSet;  import java.util.Queue;  import java.util.Scanner;  import java.util.Set;    public class test2 {      static class node{           int x;           int y;          String path="";          public node() {}          public node(int x,int y,String team)          {              this.x=x;              this.y=y;              this.path=team;          }      }      public static void main(String[] args) {          Scanner sc=new Scanner(System.in);          Set<String>set=new HashSet<String>();//储存最终结果          int n=Integer.parseInt(sc.nextLine());          char map[][]=new char[n][n];          for(int i=0;i<n;i++)          {              String string=sc.nextLine();              map[i]=string.toCharArray();          }          Queue<node>q1=new ArrayDeque<node>();//左上的队列          Queue<node>q2=new ArrayDeque<node>();//右下的队列          for(int i=0;i<n;i++)          {              q1.clear();q2.clear();              Set<String>set1=new HashSet<String>();//储存zuoshang              Set<String>set2=new HashSet<String>();//储右下              q1.add(new node(i,n-1-i,""+map[i][n-1-i]));              q2.add(new node(i,n-1-i,""+map[i][n-1-i]));              while(!q1.isEmpty()&&!q2.isEmpty())              {                  node team=q1.poll();                  node team2=q2.poll();                  if(team.x==n-1&&team.y==n-1)//到终点，将路径储存                  {                      //System.out.println(team2.path);                      set1.add(team.path);                      set2.add(team2.path);                  }                  else {                      if(team.x<n-1)//可以向下                      {                          q1.add(new node(team.x+1, team.y, team.path+map[team.x+1][team.y]));                      }                      if(team.y<n-1)//可以向右                      {                          q1.add(new node(team.x, team.y+1, team.path+map[team.x][team.y+1]));                      }                      if(team2.x>0)//上                      {                          q2.add(new node(team2.x-1, team2.y, team2.path+map[team2.x-1][team2.y]));                      }                      if(team2.y>0)//左                      {                          q2.add(new node(team2.x, team2.y-1, team2.path+map[team2.x][team2.y-1]));                      }                  }                }              for(String va:set1)              {                  if(set2.contains(va))                  {                      set.add(va);                  }              }            }          System.out.println(set.size());      }  }