计算机组成原理 – 计算篇

• 2020 年 11 月 26 日
• 笔记
• 计算机组成原理

章节导学

1. 进制运算的基本知识

1.1 进制概述

1. 进制的定义

   • 有限种数字符号来表示无限的数值
   • 进位制是一种记数方式，亦称进位计数法或位值计数法

• 使用的数字符号的数目称为这种进位制的基数或底数

2. 常见的进制

   • 二进制
   • 八进制
   • 十六进制
   • 二十进制
   • 六十进制

1.2 二进制运算的基础

二进制(整数)转换十进制

二进制(整数)转换十进制：按权展开法

正整数N，基数为r

𝑁 = 𝑑_𝑛−1𝑑_𝑛−2 ⋯ 𝑑₁𝑑₀

= 𝑑_𝑛−1r^𝑛−1 +𝑑_𝑛−2 r^𝑛−2 + ⋯ + 𝑑₁𝑟 + 𝑑₀

例：𝑁 = 01100101 = 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2² + 1 = 101

例：𝑁 = 11101101 = 1 ∗ 2⁷ + 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2³ + 1 ∗ 2² + 1 = 237

十进制(整数)转换二进制

十进制(整数)转换二进制：重复相除法

例：(101)₁₀ = ( )₂

𝑁 = (01100101)₂ = 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2²+ 1 = (101)₁₀

例：237₁₀ = ( )₂

𝑁 = （11101101）₂ = 1 ∗ 2⁷ + 1 ∗ 2⁶ + 1 ∗ 2⁵ + 1 ∗ 2³ + 1 ∗ 2^2 + 1 = (237)₁₀

二进制(小数)转换十进制

二进制(小数)转换十进制：按权展开法

小数N，基数为r，从小数点右边开始，小数点左边为正，右边为负

𝑁 = 𝑑_𝑛−1𝑑_𝑛−2 ⋯ 𝑑₁𝑑₀

= 𝑑_𝑛−1r^𝑛−1 +𝑑_𝑛−2 r^𝑛−2 + ⋯ + 𝑑₁𝑟 + 𝑑₀

例：𝑁 = (0.11001) = 1 ∗ 2⁻¹ + 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.78125 = 25/32

例：𝑁 = (0.01011) = 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁴ + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.34375 = 11/32

十进制(小数)转换二进制

十进制(小数)转换二进制：重复相乘法

1. 重复乘以2
2. 得积
3. 取整数部分
4. 结果按正序排列

十进制(分数)转换二进制

十进制(分数)转换二进制：重复相乘法

1. 重复乘以2
2. 得积：把假分数化为真分数
3. 取1：取第一个数值
4. 结果按正序排列

例：25/32转化为二进制

𝑁 = 0.11001 = 1 ∗ 2⁻¹ + 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.78125=25/32

例：11/32转化为二进制

𝑁 = 0.01011 = 1 ∗ 2⁻² + 1 ∗ 2⁻⁴ + 1 ∗ 2⁻⁵ = 0.34375 = 11/32

2. 二进制数据的表示方法

2.1 有符号数与无符号数

+表示正数，-表示负数

2.2 二进制的原码表示法

原码表示法特点

1. 规定符号位位于数值第一位
2. 使用0表示正数、1表示负数
3. 表达简单明了，是人类最容易理解的表示法

0在原码中有两种表示方法：00、10

原码进行运算非常复杂，特别是两个操作数符号不同的时候

2.3 二进制的补码表示法

补码的定义

例子1：n=4，x=13，计算x的二进制原码和补码

原码：x=0,1101

补码：x=0,1101

例子2：x=-13，计算x的二进制原码和补码

原码：x=1,1101

补码：2^𝑛+1 + 𝑥 = 2⁴⁺¹ − 13 = 100000 − 1101 = 1 0011（高亮部分为符号位）
补码：x=1,0011

例子3：x=-7，计算x的二进制原码和补码

原码：x=1,0111

补码：2^𝑛+1 + 𝑥 = 2⁴⁺¹ − 7 = 100000 − 0111 = 1 1001
补码：x=1,1001

例子4：x=-1，计算x的二进制原码和补码

原码：x=1,0001

补码：2^𝑛+1~ + 𝑥 = 2⁴⁺¹ − 1 = 100000 − 0001 = 1 1111
补码：x=1,1111

引进补码的目的

1. 使用加法代替减法操作，从而消除减法

2. 减法运算复杂，希望找到使用正数替代负数的方法

   但在计算补码的过程中，还是使用了减法！！

2.4 二进制的反码表示法

反码的定义

例子1：x=-13，计算x的二进制原码和反码

原码：x=1,1101

反码：(2^𝑛+1−1) + 𝑥 = (2⁴⁺¹−1)− 13 = 011111 − 1101 = 1 0010（高亮部分为符号位）
反码：x=1,0010

例子2：x=-7，计算x的二进制原码和反码

原码：x=1,0111

反码：(2^𝑛+1−1) + 𝑥 = (2⁴⁺¹−1) − 7= 011111 − 0111 = 1 1000
反码：x=1,1000

从以上两个例子中可以看出按照定义求反码依然有减法

引进反码的目的

消除减法

通过以下规则求反码可以消除减法的出现

负数的反码等于原码除符号位外按位取反

负数的补码等于反码+1

例子3：x=-7，计算x的二进制原码和反码和补码

原码：x=1,0111

反码：x=1,1000

补码：x=1,1001

例子4：x=-9，计算x的二进制原码和反码和补码

原码：x=1,1001

反码：x=1,0110

补码：x=1,0111

2.5 小数的二进制补码表示

二进制小数的补码定义

负数的反码等于原码除符号位外按位取反

负数的补码等于反码+1

例子1：x= 9/16，计算x的二进制原码和反码和补码

原码：x=0,0.1001 (重复相乘法)

反码：x= 0,0.1001

补码：x= 0,0.1001

例子2：x= -11/32，计算x的二进制原码和反码和补码

原码：x=1,0.01011 (重复相乘法)

反码：x=1,1.10100

补码：x=1,1.10101

3. 二进制数据的运算

3.1 定点数与浮点数

3.1.1 定点数的表示方法

定点数：小数点固定在某个位置的数称之为定点数

3.1.2 浮点数的表示方法

浮点数的表示格式

举例引入：

123450000000 = 1.2345 × 10¹¹（科学计数法）

1.2345：尾数

10：基数 11：阶码

浮点数的表示格式

S：尾数 ， r：基数 ， j：阶码

举例

11.0101 = 0.110101 × 2¹⁰
11.0101 = 0.0110101 × 2¹¹

浮点数的表示范围

阶码表示范围： [−(𝟐^𝒎 − 𝟏), 𝟐^𝒎 − 𝟏]

尾数表示范围： [−(𝟏 − 𝟐^−𝒏), −(𝟐^−𝒏)] [𝟐^−𝒏, 𝟏 − 𝟐^−𝒏]

浮点数的规格化

1. 尾数规定使用纯小数
2. 尾数最高位必须是1

举例

123450000000 = 1.2345 × 10¹¹

错误写法：

举例

11.0101 = 0.110101 × 2¹⁰

错误写法：

例子1：设浮点数字长为16位，阶码为5位，尾数为11位，将十进制数 13/128表示为二进制浮点数。

• 利用重复相乘法求出原码
• 原码=反码=补码：𝑥 = 0.0001101000

例子2：设浮点数字长为16位，阶码为5位，尾数为11位，将十进制数−54表示为二进制浮点数。

• 原码： 𝑥 = 1,110110

3.1.3 定点数与浮点数的对比

1. 当定点数与浮点数位数相同时，浮点数表示的范围更大
2. 当浮点数尾数为规格化数时，浮点数的精度更高
3. 浮点数运算包含阶码和尾数，浮点数的运算更为复杂
4. 浮点数在数的表示范围、精度、溢出处理、编程等方面均优于定点数
5. 浮点数在数的运算规则、运算速度、硬件成本方面不如定点数

3.2 定点数的加减法运算

3.2.1 加法运算

整数加法：A[补] + B[补] = (𝐴 + 𝐵)[补] (𝑚𝑜𝑑2𝑛+1)

小数加法：A[补] + B[补] = (𝐴 + 𝐵)[补] (𝑚𝑜𝑑2)

数值位与符号位一同运算，并将符号位产生的进位自然丢掉

例子1：A=-110010， B=001101，求A+B

A[补] = 1,001110

B[补]= B[原] = 0,001101

A[补] + B [补]= (A + B) [补] =1,011011

A + B = −100101

数值位与符号位一同运算，并将符号位产生的进位自然丢掉

例子2：A=-0.1010010， B=0.0110100，求A+B

A[补] = 1,1.0101110

B[补] = B[原] = 0,0.0110100

A[补] + B[补]= (A + B)[补] =1,1.1100010

A + B =-0.0011110

数值位与符号位一同运算，并将符号位产生的进位自然丢掉

例子3：A=-10010000， B=-01010000，求A+B

A[补] = 1, 01110000

B[补] = 1, 10110000

A[补] + B[补] = (A + B)[补] =1,00100000

A + B =-11100000

验证：A = −144， B = −80 ， A + B = −224

数值位与符号位一同运算，并将符号位产生的进位自然丢掉

例子4：A=-10010000， B=-11010000，求A+B

A[补] = 1, 01110000

B[补] = 1, 00110000

A[补] + B[补] = (A + B) 补 = 0,10100000

A + B = 10100000

验证：

A = −144， B = −208， A + B = 160

数值位与符号位一同运算，并将符号位产生的进位自然丢掉

3.3.2 判断溢出

• 双符号位判断法

  • 单符号位表示变成双符号位：0=>00, 1=>11
  • 双符号位产生的进位丢弃
  • 结果的双符号位不同则表示溢出

再来看例子4：A=-10010000， B=-11010000，求A+B

A[补] = 1, 01110000

B[补] = 1, 00110000

再来看例子3：A=-10010000， B=-01010000，求A+B

A[补] = 1, 01110000

B[补] = 1, 10110000

(A + B)[原] = 11,11100000 = −11100000

3.2.3 减法运算

整数减法：A[补] − B[补] = 𝐴 + (−𝐵)[补] (𝑚𝑜𝑑2𝑛+1)

小数减法：A[补] − B[补] = 𝐴 + (−𝐵)[补] (𝑚𝑜𝑑2)

-B[补]等于B[补]连同符号位按位取反，末位加一

B[补] = 1,0010101

(−B)[补] = 0,1101011

例子5：A=11001000， B=-00110100，求A-B

A[补] = A[原] = 0,11001000

B[补] = 1,11001100

(−B)[补] = 0,00110100

A[补] − B[补] = A[补] + (−B)[补] = A + (−B)[补]

A + (−B)[补] = 0,11111100

A − B = 111111100 （正数的补码还是自身）

3.3 浮点数的加减法运算

𝑥 = 𝑆_𝑥 × 𝑟^𝑗𝑥
𝑦 = 𝑆_𝑦 × 𝑟^𝑗y

操作流程

3.3.1 对阶

• 浮点数尾数运算简单
• 浮点数位数实际小数位与阶码有关
• 阶码按小阶看齐大阶的原则
• 対阶的目的是使得两个浮点数阶码一致，使得尾数可以进行运算

举例

𝑥 = 0.1101 × 2⁰¹ , 𝑦 = (−0.1010) × 2¹¹， 求 x+y

3.3.2 尾数求和

• 使用补码进行运算
• 对于减法运算要转化为加法运算：A – B = A + (-B)

3.3.3 尾数规格化（左移）

对补码进行规格化需要判断两种情况：S>0 和 S<0

1. S[补] = 00.1xxxxxx(𝑆 > 0)

2. S[补] = 11.0xxxxxx(𝑆 < 0)

   符号位与最高位不一致

如果不满足此格式，即符号位与最高位一致， 需要进行左移，同时阶码相应变化，以满足规格化

因此：𝑥 + 𝑦 = −0.1110 × 2¹⁰

3.3.4 尾数规格化（右移）

1. 一般情况下都是左移
2. 双符号位不一致下需要右移 (定点运算的溢出情况)
3. 右移的话则需要进行舍入操作

3.3.5 舍入

• “0舍1入”法（二进制的四舍五入）

例1：

S [补] = 10.10110111

S [补] = 11.01011011(1) 【1次尾数右移，记得阶码要+1哦】

例2：

S [补] = 01.11111111

S [补] = 00.10000000(1)

S [补] = 01.00000000

S [补] = 00.1000000(0)【两次右规，记得阶码要+2哦】

3.3.6 溢出判断

• 定点运算双符号位不一致为溢出
• 浮点运算尾数双符号位不一致不算溢出【因为尾数双符号位可以进行右规】
• 浮点运算主要通过阶码的双符号位判断是否溢出
• 如果规格化后，阶码双符号位不一致，则认为是溢出

例子：𝑥 = 0.11010011 × 2¹¹⁰¹，𝑦 = 0.11101110 × 2¹¹⁰⁰，假设阶码4位，尾数8位，计算x + y

𝑥 + 𝑦[原] = 𝑥 + 𝑦[补] = 0.10100101 × 2¹¹¹⁰

3.3.7 浮点数的加减法运算总结

尾数右移1位：阶码加1

尾数左移1位：阶码减1

3.4 浮点数的乘除法运算

这部分作为了解

𝑥 = 𝑆_𝑥 × 𝑟^𝑗𝑥
𝑦 = 𝑆_𝑦 × 𝑟^𝑗y

乘法：阶码相加，尾数求积

𝑥 × 𝑦 = ( 𝑆_𝑥 × 𝑆_𝑦 ) × 𝑟^{(𝑗𝑥+𝑗y)}

除法：阶码相减，尾数求商

𝑥/𝑦 = ( 𝑆_𝑥 / 𝑆_𝑦 ) × 𝑟^{(𝑗𝑥−𝑗y)}

操作流程

例子：𝑥 = 0.11010011 × 21101，𝑦 = 0.11101110 × 20001，假设阶码4位，尾数8位，计算x * y

𝑥 × 𝑦 = ( 𝑆_𝑥 × 𝑆_𝑦 ) × 𝑟^{(𝑗𝑥+𝑗y)}

= (0.11010011 × 0.11101110) × 𝑟^1101+0001

= 0.11000100(保留八位) × 𝑟¹¹¹⁰