渲染管線中的頂點變換
概述
在圖形學渲染管線中，一個頂點坐標，大概要經歷局部坐標系、世界坐標系、相機坐標系、裁剪坐標系，最後到窗口坐標系，顯示在螢幕上。
在這些過程中，從一個坐標繫到另一個坐標系，都需要進行一定的變換。下面，將介紹每次變換的方式。
注意，本文是針對OpenGL的。
局部空間->世界空間
這一變換過程，主要是將模型放置在世界空間中，進行一定的縮放、旋轉或平移。這一步比較簡單，只要將相應的矩陣作用到模型的局部空間坐標即可。
比如，對模型縮放(left(S_{x},S_{y},S_{z} right))，然後繞Z軸旋轉(theta)度，再進行(left(T_{x},T_{y},T_{z} right))的平移。注意，這裡的變換順序是不能變的，即要先進行縮放，再進行旋轉，最後進行平移。據此，我們可以構建模型變換矩陣。
[M_{model}= begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & T_{x} \ 0 & 1 & 0 & T_{y} \ 0 & 0 & 1 & T_{z} \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} begin{bmatrix} cos{theta} & -sin{theta} & 0 & 0 \ sin{theta} & cos{theta} & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} begin{bmatrix} S_{x} & 0 & 0 & 0 \ 0 & S_{y} & 0 & 0 \ 0 & 0 & S_{z} & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} ]
世界空間->相機空間
首先定義一下相機：
-
坐標為(vec{e})
-
觀察方向(vec{g})
-
向上方向(vec{t})
示意圖如下所示：
有一個性質注意一下：當相機和相機「看「到的物體一起變換時，相機」看「到的內容是不變的。這樣，可以將相機的坐標移動到世界坐標的原點，向上方向對齊世界坐標的Y軸，觀察方向對齊世界坐標的-Z軸。然後，對物體進行相同的變換即可。
在數學上，這個過程大概這樣：
- 將相機移動到坐標原點
- 旋轉觀察方向(vec{g})到-Z軸
- 旋轉向上方向(vec{t})到Y軸
- 旋轉((vec{g} times vec{t}))到X軸
大體分為兩步：先位移，後旋轉。即(M_{view} = R_{view}T_{view})。
平移部分：
[T_{view} = begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_{e} \ 0 & 1 & 0 & -y_{e} \ 0 & 0 & 1 & -z_{e} \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} ]
對於旋轉部分，先補充一些知識點。對於二維空間來說：
[R_{theta} = begin{pmatrix} cos{theta} & -sin{theta} \ sin{theta} & cos{theta} \ end{pmatrix} ]
[R_{-theta} = begin{pmatrix} cos{theta} & sin{theta} \ -sin{theta} & cos{theta} \ end{pmatrix} = R_{theta}^mathrm{T} ]
根據定義，旋轉(theta)角度和旋轉(-theta)角度是互逆的，即：(R_{-theta} = R_{theta}^{-1})。
所以，對於旋轉變換，可以得出旋轉矩陣的逆等於它的轉置，即：
[R_{theta}^mathrm{T} = R_{theta}^{-1} ]
回到上面的旋轉部分，直接求相機的坐標軸旋轉到世界坐標軸的矩陣不是很方便，但是反過來，求世界坐標軸旋轉到相機的坐標軸很容易：
[R_{view}^{-1} = begin{bmatrix} x_{vec{g} times vec{t}} & x_{vec{t}} & x_{-vec{g}} & 0 \ y_{vec{g} times vec{t}} & y_{vec{t}} & y_{-vec{g}} & 0 \ z_{vec{g} times vec{t}} & z_{vec{t}} & z_{-vec{g}} & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} ]
根據旋轉矩陣的逆等於它的轉置，得出：
[R_{view} = (R_{view}^{-1})^mathrm{T} = begin{bmatrix} x_{vec{g} times vec{t}} & y_{vec{g} times vec{t}} & z_{vec{g} times vec{t}} & 0 \ x_{vec{t}} & y_{vec{t}} & z_{vec{t}} & 0 \ x_{-vec{g}} & y_{-vec{g}} & z_{-vec{g}} & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} ]
根據(M_{view} = R_{view}T_{view})，可以得出：
[M_{view} = R_{view}T_{view} = begin{bmatrix} x_{vec{g} times vec{t}} & y_{vec{g} times vec{t}} & z_{vec{g} times vec{t}} & 0 \ x_{vec{t}} & y_{vec{t}} & z_{vec{t}} & 0 \ x_{-vec{g}} & y_{-vec{g}} & z_{-vec{g}} & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_{e} \ 0 & 1 & 0 & -y_{e} \ 0 & 0 & 1 & -z_{e} \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} ]
相機空間->裁剪空間
在一個頂點著色器運行的最後，期望所有的坐標都能落在一個特定的範圍內，且任何在這個範圍之外的點都應該被裁剪掉(Clipped)。被裁剪掉的坐標就會被忽略，所以剩下的坐標就將變為螢幕上可見的片段。這也就是裁剪空間(Clip Space)名字的由來。
因為將所有可見的坐標都指定在-1.0到1.0的範圍內不是很直觀，所以我們會指定自己的坐標集(Coordinate Set)並將它變換回標準化設備坐標系。
由投影矩陣創建的觀察箱(Viewing Box)被稱為平截頭體(Frustum)，每個出現在平截頭體範圍內的坐標都會最終出現在用戶的螢幕上。將特定範圍內的坐標轉化到標準化設備坐標系的過程（而且它很容易被映射到2D觀察空間坐標）被稱之為投影(Projection)，因為使用投影矩陣能將3D坐標投影(Project)到很容易映射到2D的標準化設備坐標系中。
這裡要注意一下，OpenGL是右手坐標系的，但是在NDC中，是左手坐標系的，這裡要特別注意！！！
相機空間轉換到裁剪空間，有需要用到投影變換。有兩種投影變換：正交投影和透視投影。下面分別介紹一下。
正交投影
我們先定義一個正交投影的視錐體([l,r] times [b,t] times [f,n])（注意，n和f都是負數，f是遠平面，所以f<n），它是一個長方體。我們需要做的，就是將正交投影的視錐體轉換到標準立方體（即標準化設備坐標，([-1,1]^{3})）。注意，這裡([f,n])映射到NDC中的[1,-1]。
這裡，分成兩個步驟：平移和縮放。正交投影的矩陣如下：
[M_{ortho} = begin{bmatrix} frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \ 0 & frac{2}{t-b} & 0 & 0 \ 0 & 0 & frac{2}{f-n} & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -frac{r+l}{2} \ 0 & 1 & 0 & -frac{t+b}{2} \ 0 & 0 & 1 & -frac{n+f}{2} \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix}= begin{bmatrix} frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -frac{r+l}{r-l} \ 0 & frac{2}{t-b} & 0 & -frac{t+b}{t-b} \ 0 & 0 & frac{2}{f-n} & -frac{f+n}{f-n} \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{bmatrix} ]
透視投影
對於透視投影，分成兩步操作：
- 首先，「壓扁」視錐體成一個長方體（n->n,f->f）（(M_{persp->ortho})）；
- 然後，做正交投影操作（(M_{ortho})，即上面的正交投影）。
觀察下圖：
根據相似三角形的關係，可以得出：
[y^{'} = frac{n}{z}y ]
類似的，可以得出：
[x^{'} = frac{n}{z}x ]
由此，可以得出下面的關係：
[M_{persp->ortho}^{(4 times 4)} begin{pmatrix} x\ y\ z\ 1\ end{pmatrix}= begin{pmatrix} frac{n}{z}x \ frac{n}{z}y \ unknown \ 1 \ end{pmatrix} ]
下面，說一個齊次坐標的性質：在3D坐標系統中，(left ( x,y,z,1 right ))，(left ( kx,ky,kz,k neq 0 right ))，(left ( xz,yz,z^{2},z neq 0 right ))都表示相同的坐標---(left ( x,y,z right ))。例如：(left ( 1,0,0,1 right ))和(left ( 2,0,0,2 right ))都表示坐標(left ( 1,0,0 right ))。
所以，有如下關係：
[M_{persp->ortho}^{(4 times 4)} begin{pmatrix} x\ y\ z\ 1\ end{pmatrix}= begin{pmatrix} frac{n}{z}x \ frac{n}{z}y \ unknown \ 1 \ end{pmatrix} = begin{pmatrix} nx \ ny \ unknown \ z \ end{pmatrix} ]
更進一步的，可以得到：
[M_{persp->ortho} = begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \ 0 & n & 0 & 0 \ ? & ? & ? & ? \ 0 & 0 & 1 & 0 \ end{pmatrix} ]
現在，還剩下第三列是未知的。
經過觀察上面的透視投影視錐體，可以得出以下推論：
-
近平面上的點的坐標都不會改變；
-
遠平面上的點，Z坐標不改變。
根據推論1，近平面上的點(left (x,y,n,1 right ))經過變換後，不會改變。即：
[M_{persp->ortho} begin{pmatrix} x \ y \ n \ 1 \ end{pmatrix} = begin{pmatrix} x \ y \ n \ 1 \ end{pmatrix} = begin{pmatrix} nx \ ny \ n^{2} \ n \ end{pmatrix} ]
根據：
[M_{persp->ortho} begin{pmatrix} x\ y\ z\ 1\ end{pmatrix}= begin{pmatrix} nx \ ny \ unknown \ z \ end{pmatrix} ]
因為(n^{2})與x和y都沒有關係，所以可以得出(M_{persp->ortho})的第三列的形式是(left (0,0,A,B right ))。
根據：
[left(0,0,A,B right) begin{pmatrix} x \ y \ n \ 1 \ end{pmatrix} = n^{2} ]
可以得出：
[An+B = n^{2} ]
根據推論2，遠平面的中心點(left (0,0,f,1 right))，經過變換後，還是本身。如下：
[M_{persp->ortho} begin{pmatrix} 0 \ 0 \ f \ 1 \ end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 \ f \ 1 \ end{pmatrix} = begin{pmatrix} 0 \ 0 \ f^{2} \ f \ end{pmatrix} ]
所以，可以得出：
[left(0,0,A,B right) begin{pmatrix} 0 \ 0 \ f \ 1 \ end{pmatrix} = f^{2} ]
即：
[Af + B = f^{2} ]
到這裡，可以得出方程組：
[begin{cases} An + B = n^{2} \ Af + B = f^{2} \ end{cases} Rightarrow begin{matrix} A = n + f \ B = -nf \ end{matrix} ]
到這裡，可以得出(M_{persp->ortho}):
[M_{persp->ortho} = begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0 \ 0 & n & 0 & 0 \ 0 & 0 & n+f & -nf \ 0 & 0 & 1 & 0 \ end{bmatrix} ]
最終，透視投影矩陣：
[M_{persp} = M_{ortho}M_{persp->ortho} = begin{bmatrix} frac{2n}{r-l} & 0 & frac{l+r}{l-r} & 0 \ 0 & frac{2n}{t-b} & frac{b+t}{b-t} & 0 \ 0 & 0 & frac{f+n}{f-n} & frac{2nf}{n-f} \ 0 & 0 & 1 & 0 \ end{bmatrix} ]
裁剪空間->窗口空間
在裁剪空間的最後，所以的可見的點都在標準設備坐標系（NDC）中，即坐標坐落在範圍([-1,1]^{3})內。
先不考慮Z軸的變換。
從NDC到窗口空間，需要經過視口變換。定義一個螢幕空間：(left (0,0,w,h right))。平面左下角的坐標位(left (0,0 right))，右上角的坐標為(left (w,h right))。對於X和Y坐標的變換，即從(left(-1,1right) times left(-1,1right))到(left(0,wright) times left(0,hright))。
這裡，經過兩步變換：
-
將NDC的中心平移到窗口的中心；
[T_{viewport} = begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & frac{w}{2} \ 0 & 1 & 0 & frac{h}{2} \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{pmatrix} ]
-
將NDC的大小縮放到螢幕的大小。
[R_{viewport} = begin{pmatrix} frac{w}{2} & 0 & 0 & 0 \ 0 & frac{h}{2} & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{pmatrix} ]
合併到一起：
[M_{viewport} = R_{viewport}T_{viewport} = begin{pmatrix} frac{w}{2} & 0 & 0 & frac{w}{2} \ 0 & frac{h}{2} & 0 & frac{h}{2} \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{pmatrix} ]
對於Z坐標，從(left(-1,1right))映射到了(left(0,1right))。這裡只是簡單的線性映射。假設(z^{'} = Az+B)，當(z)等於-1時，(z^{'})等於0；當(z)等於1時，(z^{'})等於1。可得如下方程組：
[begin{cases} A(-1) + B = 0 \ A(1) + B = 1 \ end{cases} Rightarrow begin{cases} A = frac{1}{2} \ B = frac{1}{2} \ end{cases} ]
所以，(z^{'} = frac{1}{2}z + frac{1}{2})。代入上述(M_{viewport})矩陣，可得：
[M_{viewport} = begin{pmatrix} frac{w}{2} & 0 & 0 & frac{w}{2} \ 0 & frac{h}{2} & 0 & frac{h}{2} \ 0 & 0 & frac{1}{2} & frac{1}{2} \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end{pmatrix} ]
參考
