论人类下一代语言的可能—5.1一阶谓词逻辑简述

• 2022 年 10 月 20 日
• 筆記
• 人类新语言的可能

一般说法，逻辑是有效推理的形式。逻辑学可追溯至亚里士多德（Aristotle，公元前384～前322，古希腊的哲学家、科学家、逻辑学家、教育家），他创立的三段论标志着古典逻辑阶段的形成。我们通过例子来说明。

所有吃草且会奔跑的都是动物

马是吃草且会奔跑的

所以，马是动物

在这个例子中，替换“马”为“牛”，或者系统替换“吃草且会奔跑”“动物”“马”三者，都不影响推论的有效，词项：“所有”“是”“所以”构成了这里的推理形式，一般化这个形式如下：

所有M是P

S是M

所以，S是P

我们再看下面的例子：

所有吃草且会奔跑的都是兔子

马是吃草且会奔跑的

所以，马是兔子

“马是兔子”这当然是荒谬的说法，但这里的逻辑应用没有问题，结果的荒谬是因为前提“所有吃草且会奔跑的都是兔子”是荒谬的，纯粹逻辑并不关心前提，结论是否荒谬，也不关心兔子、马这些词汇是指称什么。逻辑只关注推导的结构与形式是否符合规定，符合规定就是有效的。

“荒谬”是一个感受上带有情绪的日常词汇，在逻辑里正式说法是“假”。论证时的每一陈述句或者为“真”，或者为“假”，为“真”或为“假”称为语句的真值。真值中的“真”“假”通常用“1”“0”表示。我们在二种意义讨论“真”与“假”，一种是经验的真值，其意义是语句的描述是否与事实相符，这是通过实际的验证来证实的；一种是逻辑的真值，逻辑上从前提语句推理得到的语句，称为后承语句，前提语句为真并且推理有效，后承语句真值=1，这里后承语句的真值是逻辑上的真值。

对于构建认知，经验的真值才是终极的标准，只是人类理论的抽象性与实际环境的复杂性，不一定存在无争议可实施的验证方法。存在万有引力定律的情况下，惯性定律场景就很难真实地存在。理论上这样构建仍是可行的，但想找到或创造合外力为零的情况来验证，绝对地说没有这种可能性。水星近日点的异常进动被认为是对广义相对论的证明，很多人并不确信这一点，因为并没有完整地考虑所有因素并精确地进行计算，比如没有考虑太阳风的影响。另一方面，虽然逻辑的基础仍存在巨大的争议，在一般性的应用中，如果最初的前提经验真值为1，推理过程有效，结论的逻辑真值为1，通常验证下来结论经验真值也是1。实践的有效建立了我们对逻辑的信仰。

亚里士多德做出了初步的逻辑规范，但在自然语言里应用亚里士多德的逻辑是困难的，原因之一是自然语言的歧义性，我们以“逻辑”一词为例来说明。对专业人士，“逻辑”一词指现代逻辑学的逻辑：有效推理论证的形式；对另一些人，这指自然语言中不能脱离语义的自然逻辑；对其他一些人，是指归纳逻辑；多数人可能是不加区分地应用。说“不合逻辑”可能指未遵守有效推理论证的方式，或不够严谨；或是指语句描述与事实不符。可以想象，不同理解的人在一起讨论“逻辑”时，场面将陷入怎样的混乱。

鉴于自然语言在严谨应用时难以避免的混乱，德国哲学家与数学家莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz。1646.7-1716.11)想到创立一门通用语言，这种语言的使用形式与逻辑规则一致，这样推理变成一种计算，当发生争论时，我们可以像在算术里那样，通过算一算就得到确定的结论。1879年德国数学家、逻辑学家和哲学家弗雷格(Friedrich Ludwig Gottlob Frege，1848.11-1925.7)出版了《概念文字》（英译：Concept Writing）一书，开始具体实现莱布尼茨的想法。弗雷格的设想不仅是能模仿算术实现机械的推理运算，他的设想首先也是创建一门表达思想概念的语言。

弗雷格首先是用命题表示判断。命题作为一个整体的单位时，经常用一个小写字母来表示，如p、q、s……弗雷格参考数学函数的概念改写了命题的格式。跳过弗雷格的术语与形式，用今天通用的表示法，命题的形式是P（x）或P（x、y）等。其中x、y为项，是命题要表述的对象，P（）称为谓词，表示一种性质或关系，类似于一个函数。我们先说x、y是常项的情况，自然语句“小明是小学生”命题形式表示为“是小学生（小明）”，自然语句“狮子追逐斑马”命题形式可表示为“追逐（斑马、狮子）”。逻辑上我们应用“是小学生（小明）”命题时，是一个描述，同时也是一个判断，判定p是一个事实且p=‘小明是小学生’即认为命题：“是小学生（小明）”=1，这是在实证的意义上说的。

弗雷格还引入了量词：∀为全称量词，∃为存在量词。引入量词后，x、y就可以表示变项，∀x：P（x）表示所有x代表的常项，都使P（x）=1。如果用x表示学生，可以构造这样的命题∀x：要做作业（x），翻译为自然语句就是：所有的学生都要做作业。∃x：P（x）表示存在x代表的常项，使P（x）=1。如果用x表示鸟类，可以构造命题∃x：不会飞（x），翻译为自然语句就是：存在不会飞的鸟。

在弗雷格之前，1854年，英国数学家乔治·布尔（George Boole，1815.11-1864.12）出版了《思维规律的研究》（An Investigation of The Laws of Thought）一书。在这本书里布尔提出了可用于命题联结的运算：与（合取）、或（析取）、非（否定），运算符号为“∧”“∨”“┐”，语义上与下述三个日常词汇接近：并且（and）、或者（or）、否定（not），当然不能用这三个词汇来理解这三个运算。“∧”“∨”“┐”，它们可通过真值表无歧义地定义。为了表述方便，下面论述里的命题先简单写为p、q。

1）与运算：∧

2）或运算：∨

3）非运算┐

从真值表的定义，可以发现，或运算的1∨1=1与“或者”一词的自然语义是有区别的，我或者乘飞机去北京，或者坐高铁去北京，我不可能乘飞机同时又坐高铁去北京，一般的语义下1∨1=0。为适配这种语义，逻辑里另外定义了异或运算，运算符号为：⊕

4）异或运算：⊕

我们不需要单独引入异或运算，所有其他的运算可以用∧、∨、┐定义出：

p⊕q=(┐p∧q)∨(p∧┐q)

同样我们可以使用真值表来验证定义是否成立

从日常实践来说，经常用到的是这种运算——蕴涵运算，逻辑里语法形式表示为：⇒，语义对应的日常词汇是：如果……那么……真值表如下：

5）蕴涵运算⇒

可定义为：┐p∨q。

对蕴涵运算理解的要点是：P为真时，q为真，才成立；P为假时，q无论真假，p⇒q都为真，后半句是让人困惑的地方，学术界也有争论，你可以理解为这只是个约定。

蕴涵运算的增强运算是等价运算，逻辑里语法形式表示为：⇔语义对应的日常词汇是：当且仅当，真值表如下：

6）等价运算⇔

可定义为：(p∧q)∨（┐p∧┐q）。

对等价运算理解的要点是：p⇔q相当于p⇒q∧q⇒p

上面我们是从与、或、非运算定义出异或、蕴涵、等价运算，如果需要还可以再定义其他的运算。我们也可以不从与、或、非运算出发，定义其他的运算，而是从比如蕴涵、非运算出发，定义出与、或、及其他的运算，如何选择只是约定与方便的问题。

有了量词、命题形式、命题联结方式，它们的连接就可以形成更复杂的表达式，通常认为这些表达式可用来表示我们的观念或事实。由此方式表达的多个观念或事实可组成前提，接下来是可进行推理、证明。一串的推理得到结论，或揭示出矛盾，这就构成一个证明。每一步的推理是对逻辑表达式进行转换，比如说表达式中有“┐┐q”部分，你可以用“q”来替换，这是平时所说的：否定之否定就是肯定。逻辑上的说法是“┐┐q”与“q”形成等价的关系：┐┐q⇔q，等价符号二边可以相互替代。说到逻辑推理，通常最容易想到的是假言推理的这种形式：如果p那么q，p，所以q，专业的形式是（p⇒q∧p）⇒q，这是个蕴涵关系，只有右边可以替代左边。逻辑里┐┐q⇔q与（p⇒q∧p）⇒q称为重言式，更多的重言式如下：

┐┐q⇔q

p∧(q∨s)⇔(p∧q)∨(p∧s)

p∨(q∧s)⇔(p∨q)∧(p∨s)

┐(p∧q)⇔┐p∨┐q

┐(p∨q)⇔┐p∧┐q

p∨(p∧q)⇔p

p∧(p∨q)⇔p

┐（∀x）P（x）⇔（∃x）（┐Px）

┐（∃x）P（x）⇔（∀x）（┐Px）

p∧q⇒p

p∧q⇒q

p⇒(p∨q)

q⇒(p∨q)

┐p∧(p∨q)⇒q

（p⇒q∧p）⇒q

（p⇒q）∧（q⇒s⇒(p⇒s)

这里只是列举了部分重言式。由重言式组成的集合就构成一个逻辑推理的系统。推理过程就是不断应用系统里的重言式进行替换的操作。还有那些重言式？重言式如何构成推理系统？这是逻辑学家研究的课题。

由莱布尼茨、弗雷格、布尔等人推动发展出的逻辑,其特征是抽象符号的表示：x、P()、p、q、∀、∃、∧、∨、┐、⇒、p⇒(p∨q)、q⇒(p∨q)……并且最终形成可演算的符号系统。通常的说法：这是模仿数学方法来研究逻辑所取得的结果。这种结果也称为数理逻辑，它的出现是逻辑学进入现代阶段的标志。这里所说逻辑属一阶谓词逻辑，它是现代逻辑中最基础的部分。除一阶谓词逻辑外，现代逻辑学还发展出众多的其他分支：高阶逻辑、时序逻辑、模态逻辑，甚至如p∧┐p⇔1即排中律不适用的逻辑等，似乎不同的假设与应用场景都可以去发展一个逻辑的门类。