前綴和與差分
- 2021 年 12 月 8 日
- 筆記
- 差分, 前綴和, 03_資訊學競賽之演算法基礎篇, 線性優化
導圖
前綴和
前綴和常用於快速地求解區間範圍內的元素總和。
一維前綴和
設元素存儲在a[N]中，我們設計一個數組s[N]，s[i]對應第一個元素到第i個元素的總和，即\(s[i]=a[1]+a[2]+...+a[i]\)。
一維前綴和的維護公式為：\(s[i]=s[i-1]+a[i]\)。
若我們想快速求出區間\([L,R]\)範圍內的元素總和。
我們可以利用前綴和快速求解：\(sum_{[L,R]}=s[R]-s[L-1]\)。
可通過圖片加深理解。
二維前綴和
設元素存儲在a[N][N]中，我們設計一個數組s[N][N]，用來存儲a[1][1]開始的矩陣總和。
s[i][j]的含義可看下圖。a[N][N]為無色部分，s[N][N]為深色部分。
那麼如何維護二維的前綴和數組呢？可觀察下圖：
可發現s[i][j]的面積由橙色區域s[i-1][j]與藍色區域s[i][j-1]組成後，再去掉重疊部分紫色區域s[i-1][j-1]後加上本身位置的內容a[i][j]得到。
故得到公式：\(s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]\)。
若我們想快速的求出某個子矩陣的元素和，可進行如下處理。
我們設子矩陣左上位置為(xa,ya)，右下位置為(xb,yb)。從而確定子矩陣的形狀。
觀察下圖，可以發現，子矩陣的總和可由紅色區域s[xb][yb]去掉藍色區域s[xb][ya-1]和橙色區域s[xa-1][yb]後，再加上重複減的紫色區域s[xa-1][ya-1]後得到。即，公式為：\(sum_{子矩陣}=s[xb][yb]-s[xb][ya-1]-s[xa-1][yb]+s[xa-1][ya-1]\)。
差分
差分常用於對連續的某個區域快速進行增加和減少的值的操作。
一維差分
設元素存儲在a[N]中，我們設計一個差分數組b[N]，b[i]對應a[i]與a[i-1]的差值,即\(b[i]=a[i]-a[i-1]\)。
若我們對差分數組b進行前綴和處理，可發現存在逆元特性，前綴和的內容等於原數組a的內容。
s[1]=b[1]=a[1]
s[2]=s[1]+b[2]=a[1]+a[2]-a[1]=a[2]
s[3]=s[2]+b[3]=a[2]+a[3]-a[2]=a[3]
...
s[i]=s[i-1]+b[i]=a[i-1]+a[i]-ba[i-1]=a[i]
若我們對b[i]的對加上x。
再進行前綴和處理。
可發現，相當於從i到最後的n，對所有的原數組內容加上了x。
故，若想對\([L,R]\)的範圍的值都加上x。可通過三步實現。
b[L]+=xb[R+1]-=x- 前綴和處理查分數組b
二維差分
設元素存儲在a[N][N]中，我們設計一個差分數組b[N][N]，用來存儲a數組中相鄰元素的差值。
二維差分維護公式為：\(b[i][j]=a[i][j]-a[i][j-1]-(a[i-1][j]-a[i-1][j-1])=a[i][j]-a[i][j-1]-a[i-1][j]+a[i-1][j-1]\)。
若我們對差分數組b進行前綴和處理，存在逆元特點，前綴和結果為原數組a中的內容。
若我們對差分數組b[xa][yb]+=x，再對差分數組求前綴和。可發現，(xa,ya)到(n,n)的原數組內容都加上了x。
若我們想快速地對某個子矩陣區域的元素和加減值。
我們設子矩陣左上位置為(xa,ya)，右下位置為(xb,yb)。從而確定子矩陣的形狀。
觀察下圖
可發現若想對子矩陣區域加上x，可先將紅色區域b[xa][ya]加上x，在將橙色區域b[xa][yb+1]與藍色區域b[xb+1][ya]減去x進行抵消，再將重複減去的紫色區域b[xb+1][yb+1]的內容加上來。
b[xa][ya]+=xb[xa][yb+1]-=xb[xb+1][ya]-=xb[xb+1][yb+1]+=x
之後再對差分數組進行前綴和處理即可。
習題強化
習題程式碼在項目OIAlgorithm中。
