53. 最大子序和(剑指 Offer 42)
53. 最大子序和(剑指 Offer 42)
知识点：数组；前缀和；哨兵；动态规划；贪心；分治；
题目描述
输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。
要求时间复杂度为O(n)。
示例
输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
解法一：前缀和+哨兵
连续子数组 –> 前缀和
从前往后遍历求前缀和，维持两个变量，一个是最大子数组和，也就是答案，一个是最小的前缀和，我们可以把这个值理解为哨兵，这个就是我们用来获取答案的，因为每次前缀和-这个最小的肯定就是最大的。
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int pre = 0; //前缀和；
int minPre = 0; //最小的前缀和：哨兵；
int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
for(int i = 0; i < nums.length; i++){
pre += nums[i];
maxSum = Math.max(maxSum, pre-minPre);
minPre = Math.min(pre, minPre);
}
return maxSum;
}
}
解法二：贪心
这道题贪心怎么解？贪什么呢？想一下在这个过程中，比如-2 1，我们需要-2吗？不需要！因为负数只会拉低我们最后的和，只起副作用的索性不如不要了。直接从1开始就行了； 贪的就是负数和一定会拉低结果。
所以我们的贪心选择策略就是：只选择和>0的，对于和<=0的都可以舍弃了。
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int maxSum = Integer.MIN_VALUE;
int sum = 0;
for(int i = 0; i < nums.length; i++){
sum += nums[i];
maxSum = Math.max(sum, maxSum);
if(sum <= 0){
sum = 0; //对于<=0的前缀和，已经没要意义了，从下一位置开始；
continue;
}
}
return maxSum;
}
}
解法三：分治
这道题可以用分治去解。期望去求解一个区间[l,r]内的最大子序和，按照分而治之的思想，可以将其分为左区间和右区间。
左区间L：[l, mid]和右区间R：[mid + 1, r].
lSum 表示 [l,r] 内以 l 为左端点的最大子段和
rSum 表示 [l,r] 内以 r 为右端点的最大子段和
mSum 表示 [l,r] 内的最大子段和
iSum 表示 [l,r] 的区间和
递归地求解出L.mSum以及R.mSum之后求解M.mSum。因此首先在分治的递归过程中需要维护区间最大连续子列和mSum这个信息。
接下来分析如何维护M.mSum。具体来说有3种可能：
- M上的最大连续子列和序列完全在L中，即M.mSum = L.mSum
- M上的最大连续子列和序列完全在R中，即M.mSum = R.mSum
- M上的最大连续子列和序列横跨L和R，则该序列一定是从L中的某一位置开始延续到mid（L的右边界），然后从mid + 1（R的左边界）开始延续到R中的某一位置。因此我们还需要维护区间左边界开始的最大连续子列和leftSum以及区间右边界结束的最大连续子列和rightSum信息
class Solution {
public class Status{
public int lSum, rSum, mSum, iSum;
// lSum 表示 [l,r] 内以 l 为左端点的最大子段和
// rSum 表示 [l,r] 内以 r 为右端点的最大子段和
// mSum 表示 [l,r] 内的最大子段和
// iSum 表示 [l,r] 的区间和
public Status(int lSum, int rSum, int mSum, int iSum){
this.lSum = lSum;
this.rSum = rSum;
this.mSum = mSum;
this.iSum = iSum;
}
}
public Status getInfo(int[] a, int l, int r){
if(l == r) return new Status(a[l], a[l], a[l], a[l]); //终止条件；
int mid = l + ((r-l) >> 1);
Status lsub = getInfo(a, l, mid);
Status rsub = getInfo(a, mid+1, r);
return pushUp(lsub, rsub);
}
//根据两个子串得到整个序列结果；
public Status pushUp(Status l, Status r){
int iSum = l.iSum + r.iSum;
int lSum = Math.max(l.lSum, l.iSum+r.lSum);
int rSum = Math.max(r.rSum, r.iSum+l.rSum);
int mSum = Math.max(Math.max(l.mSum, r.mSum), l.rSum+r.lSum);
return new Status(lSum, rSum, mSum, iSum);
}
public int maxSubArray(int[] nums) {
return getInfo(nums, 0, nums.length-1).mSum;
}
}
解法四：动态规划
- 1.确定dp数组和其下标的含义：dp[i]表示以i结尾的连续子数组的最大和；
- 2.确定递推公式，即状态转移方程：以i结尾想一下我们有几种可能，一种是i-1过来的，也就是上一个的连续子数组延续到i处了，那和就为dp[i-1]+nums[i],另一种呢，就是自己开始，前面那个连续子数组不行，那就是nums[i]了，想一下为什么前面那个不行，还不是前面的和会拖累自己，那就意味着前面的和是负数；这其实就引出贪心的方法了。不过我们这里不用这么麻烦，直接用一个max函数，取两者大的那个就行；
- 3.dp初始化base case：dp[0]只有一个数，所以dp[0] = nums[0];
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int len = nums.length;
int[] dp = new int[len]; //以i结尾的连续子数组的最大和为dp[i];
if(nums == null || len <= 1) return nums[0];
dp[0] = nums[0];
for(int i = 1; i < len; i++){
dp[i] = Math.max(dp[i-1]+nums[i], nums[i]); //状态转移；
}
//注意我们要遍历一遍返回最大的dp；
int maxSum = dp[0];
for(int i = 1; i < len; i++){
maxSum = Math.max(maxSum, dp[i]);
}
return maxSum;
}
}
当然上述程序可以优化，因为我们的dp[i]其实只和前一状态i-1有关，所以可以采用一个滚动变量来记录，而不用整个数组。
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int pre = 0; //记录前一状态；
int res = nums[0]; //记录最后结果的最大值；
for (int num : nums) {
pre = Math.max(pre + num, num);
res = Math.max(res, pre);
}
return res;
}
}
体会
这道题目是一道很典型的题目，用到了各种方法和思想。要常看常做，分治是其中比较困难的，但是要会这种思想。这道题目最好的方法还是哨兵和动态规划， 其实贪心就是从动态规划的一个特殊情况过去的，体会两者的关系；
