【算法】KMP算法
简介
KMP算法由 Knuth-Morris-Pratt 三位科学家提出，可用于在一个 文本串 中寻找某 模式串 存在的位置。
本算法可以有效降低在一个 文本串 中寻找某 模式串 过程的时间复杂度。（如果采取朴素的想法则复杂度是 \(O(MN)\) ）
这里朴素的想法指的是枚举
文本串的起点，然后让模式串从第一位开始一个个地检查是否配对，如果不配对则继续枚举起点。
前置知识
真前缀
指字符串左部的任意子串（不包含自身），如 abcde 中的 a,ab,abc,abcd 都是真前缀但 abcde 不是。
真后缀
指字符串右部的任意子串（不包含自身），如 abcde 中的 e,de,cde,bcde 都是真后缀但 abcde 不是。
前缀函数
一个字符串中最长的、相等的真前缀与真后缀的长度， 如AABBAAA对应的前缀函数值是 \(2\) 。
原理
注意：在分析的时候，我们规定字符串的下标从 \(1\) 开始。
开始：
我们记扫描模式串的指针为j，而扫描文本串的指针为i，假设一开始i，j都在起点，然后让它们一直下去直到完全匹配或者失配，比如：
j
ABCD
i
ABCDEFG
然后
j
ABCD
i
ABCDEFG
最后在此完成了一次匹配，类似地如果ABCD改为ABCC则在此失配。
j
ABCD
i
ABCDEFG
i，j运作模式如上。
KMP算法就是，当模式串和文本串失配的时候，j指针从真后缀的末尾跳到真前缀的末尾，然后从真前缀后一位开始继续匹配。（从而起到减少配对次数，这便是KMP算法的核心原理）
结合例子解释：
模式串： \(AABBAAA\)
文本串： \(AABBAABBAAA\)
j指针在最后一个A处失配。
j
AABBAAA
i
AABBAABBAAA
因为此时 以j为尾的前缀 所对应的前缀函数值是 \(2\) ，所以 j指针 跳到这里：
j
AABBAAA
i
AABBAABBAAA
然后从下一位开始继续配对：
j
AABBAAA
i
AABBAABBAAA
最后
j
AABBAAA
i
AABBAABBAAA
可以看出，KMP能够有效减少配对次数。
实现
我们记
模式串为p，文本串为s。
从上面的模拟中，我们发现需要预处理出一个数组（记之为next[]），它储存模式串中前缀对应的前缀函数\(\pi()\)，如对于字符串ABCABC ：
\(\pi(0)=0\) （因为什么都没有）
\(\pi(1)=0\) （A甚至没有真前缀和真后缀）
\(\pi(2)=0\) （AB）
\(\pi(3)=0\) （ABC）
\(\pi(4)=1\) （ABCA）
\(\pi(5)=2\) （ABCAB）
\(\pi(6)=3\) （ABCABC）
同样地，我们发现如果用暴力朴素的想法来统计复杂度是 O(N^2) 不好，于是采用类似于上面的方法，只不过模式串配对的对象是自己罢了。
可以结合代码理解，并注意举例，尝试在纸上模拟这个过程。
for(int i=2,j=0;i<=lenp;i++){
while(j && p[j+1]!=p[i]) j=next_[j]; // 如果j指向元素的下一个元素会和当前配对位置失配，则j跳回去
if(p[j+1]==p[i]) j++; //如果能够配对上，j++
next_[i]=j; //记录当前位置的前缀函数π
}
完整代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
char p[N],s[N];
int next_[N];
int main(){
cin>>s+1>>p+1;
int lenp=strlen(p+1),lens=strlen(s+1);
// build next array
for(int i=2,j=0;i<=lenp;i++){
while(j && p[j+1]!=p[i]) j=next_[j]; // 如果j指向元素的下一个元素会和当前配对位置失配，则j跳回去
if(p[j+1]==p[i]) j++; //如果能够配对上，j++
next_[i]=j; //记录当前位置的前缀函数π
}
for(int i=1,j=0;i<=lens;i++){
while(j && p[j+1]!=s[i]) j=next_[j];
if(p[j+1]==s[i]) j++;
// if match
if(j==lenp){
j=next_[j];
cout<<i-lenp+1<<endl;
}
}
for(int i=1;i<=lenp;i++) cout<<next_[i]<<' ';
cout<<endl;
return 0;
}
复杂度
\(O(N+M)\)
