美賽審題方法簡介

• 2019 年 10 月 8 日
• 筆記

大家好！我是magic2728，從第一次建模到現在有近10年時間了，期間沉澱了一套以建模思維解決問題的方法論，曾以《數學建模七日談》為題發表在數學中國論壇上，經受時間考驗，受惠者眾。現將其精華部分針對比賽進行重述。希望對大家有所裨益。

審題三部曲：

1. 弄清未知概念：看不懂的詞和句子一定要查資料解決；

2. 獲取題目資訊：搞清楚每一個詞，每一句話的數學模型意義；

3. 尋找求解思路：對照模型和背景的類型，搜尋解題思路；

其中第二步是整個審題的關鍵，將決定後面的步驟能否順利進行。美賽尤其如此，很多文字可以有多種理解，每種理解都是不同的解題思路，而國賽相對固定些。

下面介紹獲取題目資訊的三類資訊標註法，共三個大類，6個小類的資訊，每類資訊都對應不同的用法，進而去確定不同的模型使用和解題思路。

三類資訊標註法

1. Topic：background & problem，背景介紹和問題，帶你走入情景，這裡的問題一般是一些困難或者麻煩待解決，不是具體的模型問題；

2. Condition：Restrictive condition & implication，限制性條件和暗示，前者一旦發現不可更改，後者需要靈活理解和獲取一些解題的方向和思路；

3. Question：specific model & mission，一定要明確題目有幾個基本的模型需要建立，要逐個建立並回答，如果需要用模型完成一些任務，寫一個海報，手冊之類的也要明確作為問題回答，必須十分明確！

最後一步尋求解題思路就可以在2的基礎上進行了，一般有兩個思考方向（其思考基礎是函數建模法和三步學習法，我們下一篇文章介紹）：

1. 從topic中獲取模型的背景，從condition和question中獲取模型的類型，從而定位到模型的可能求解思路；

2. 從函數的自變數，因變數，參數，對應關係出發，找到題目需要求解的函數以及對應的優化問題，參數範圍問題等；

今天我們先介紹這麼多，這裡以2018年CUMCM的A題為例，給大家示範一下三類資訊標註法，以及審題的結果，有任何問題可以留言，或參與活動進群答疑！

A題 高溫作業專用服裝設計（bk1）

在高溫環境下工作時，人們需要穿著專用服裝以避免灼傷。（pr1）專用服裝通常由三層織物材料構成，記為I、II、III層，其中I層與外界環境接觸，III層與皮膚之間還存在空隙，將此空隙記為IV層。（bk2）

為設計專用服裝，將體內溫度控制在37ºC的假人放置在實驗室的高溫環境中，測量假人皮膚外側的溫度。（bk3）為了降低研發成本、縮短研發周期，請你們利用數學模型來確定假人皮膚外側的溫度變化情況，並解決以下問題：

(1) 專用服裝材料的某些參數值由附件1給出，對環境溫度為75ºC、II層厚度為6 mm、IV層厚度為5 mm、工作時間為90分鐘的情形開展實驗，測量得到假人皮膚外側的溫度（見附件2）。建立數學模型，計算溫度分布，並生成溫度分布的Excel文件（文件名為problem1.xlsx）。（spm1）

(2) 當環境溫度為65ºC、IV層的厚度為5.5 mm時，確定II層的最優厚度，確保工作60分鐘時，假人皮膚外側溫度不超過47ºC，且超過44ºC的時間不超過5分鐘。（spm1』）

(3) 當環境溫度為80時，確定II層和IV層的最優厚度，確保工作30分鐘時，假人皮膚外側溫度不超過47ºC，且超過44ºC的時間不超過5分鐘。(spm1』』)

附件1. 專用服裝材料的參數值

附件2. 假人皮膚外側的測量溫度

本題符合國賽的一貫風格，A題是一個物理類的連續問題，且以經典熱力學為模型背景，建模過程已經由熱力學完成，只需在特定環境下使用而已。而且三個問題使用的是同一個模型，1要求建立基本的函數關係，2為單變數優化，3為多變數優化，模型不變，數學求解難度層層推進。

前兩段解決topic的問題，帶入情景為熱力學情景，有現成熱力學公式可以根據數據表中的單位順藤摸瓜找到，另外應該可以把人體和衣服的接觸曲面假設成一個無窮大平面來簡化問題。

別看有3個問題，其實就是一個函數模型而已：

自變數：時間t，位置x；

因變數：溫度值T；

參數：各層材料厚度L，比熱a，熱導率v，密度p，其中僅L為可變參數；

函數關係：T = f(t, x; L, a, v, p)由初始條件下的溫度以及給定材料條件下的熱傳導規律決定。

故問題1即求f，直接用熱傳導公式逐層計算即可。

問題2僅L2為可變參數，有兩種可行的理解：L2此時變成了唯一決策變數，其限制條件為「工作60分鐘時，假人皮膚外側溫度不超過47ºC，且超過44ºC的時間不超過5分鐘」；而優化目標則是其他的比如皮膚外側溫度最低，超過44ºC的時間最少，厚度最薄等人工設定的目標；另一種理解則是直接當成解方程問題做，求參數L2的取值範圍，範圍內都是最優的，並不把它轉化為優化問題。

問題3完全同理，只不過優化問題的目標變成兩個，需要加權融合，比如以總重量最小；如果當成求取參數取值範圍做，則是一個二維解空間而已。