記一次從魔術到數學的非典型奇幻之旅
- 2019 年 10 月 8 日
- 筆記
這次奇幻的旅程，開始於2018.10.14的Kiko Pastur廣州站講座的Ace Assembly流程中一個關鍵而絕妙的手法，驚嘆於這個魔術動作的美妙設計的同時，我開始放飛自我，一邊練習回憶著講座中的精彩內容，一邊找到了一個震撼我的點，憑著本能探尋著這背後的數學原理。真是老夫聊發少年狂，經過討論，推導，嚴格證明，歷時一周有餘，才把這個問題徹底搞定！到底是老了，沒那麼熟練了，可當我的思維碰撞到每一個有希望而又似曾相識的idea時，總是讓我感到如此興奮和幸福！好久沒有這樣的感覺了！感謝上帝！讓我夢回少年！
首先，致敬Kiko，復現一下這個一度刷新我認知的Ace Assembly。
影片1
裡面有很多魔術的點值得啟發，邏輯感畫面感的兼顧，魔術要同時是不可能和吸引人的，對魔術師而言則是審美和挑戰的追求。。。。。。這裡我就不一一贅述了，其中中間第二疊Ace的消失用到的方法是把要隱藏的牌安全地藏在了兩張牌的下面，哪怕稍稍移動一下也不妨礙遮擋，不像完全的單張覆蓋那樣不能容錯而對手法要求極高，卻做到了更加逼真的效果，不得不服這一絕妙的方法設計。在著迷於魔術效果的同時，我的思緒已經飛到了邏輯的另一側：任何兩張牌都能完美遮擋一個和他一樣大牌嗎？是不是對牌的長寬比有一些要求？
裁剪了兩張（衛生）紙，撕成長條狀，試了又試，發現正方形顯然做不到這一點，而長邊：短邊 < 2時候，直接把兩個矩形沿長邊拼起來，再把待覆蓋矩形垂直過來擺放，這顯然就是一個可行解了。可是如果長邊：短邊 >= 2呢？恕我剪紙誤差太大，實在難以肉眼判斷，後來經過嚴格證明，發現除了正方形，任意長方形都能滿足要求！哪怕是一個長紙條到無窮遠！請看圖！
圖1：長邊：短邊 < 2的可行解
圖2：長邊很長時候的可行解
幾何的世界真是奇妙！
用數學語言描述一下上述問題：
兩個一樣大的矩形，滿足什麼條件的時候，能安全覆蓋住一個和它一樣大的矩形？（安全覆蓋：被蓋住的矩形往任何方向移動一個小量，都不影響覆蓋成立。例如，完全重合的兩個圖形不算安全覆蓋。）
答案是：其邊長比不等於1，即是一個非正方形時。下面證明之。
問題分析：
感覺是一個很直覺化的問題，應該通過簡單的幾何關係規律就能解決，也生怕小題大作而貽笑大方了。和幾位朋友聊了聊，有聯想到測度論的，井蓋是除了是圓的還可以是什麼形狀的，還有人說不清道不明地畫圖試圖證明，而我也建系設點，列式化簡，無奈簡單的矩形，要精確表達覆蓋的含義，還真不好求解。
看來沒辦法，直接上幾何證明了，三角函數關係確實有些生疏，道路也是曲折的，好歹最後終於達到了光輝的頂點！
以下是證明過程：
證明：
不妨設安全覆蓋的兩個矩形為R1,2，被安全覆蓋矩形為C，其邊長為a = 1, b長度任意。
1. 若安全覆蓋成立，那麼其情形應該是R1,2分別覆蓋了C的互不重複的兩個相鄰頂點及其邊a；剩餘2條邊b被R1,2分別覆蓋一部分。
首先，R1 不可能覆蓋C 的對角線及其兩個頂點，因為對角線是矩形最長截麵線，要覆蓋則完全重合，不合題意。而C 有兩組互斥的對角線頂點，若R1 覆蓋3 個及以上的頂點，根據容斥原理，必包含一組對角線頂點，故R1 最多覆蓋2 個相鄰頂點，又完美覆蓋要求4 個頂點全覆蓋，所以，R1, 2 分別完美覆蓋C 的兩個相鄰頂點，得證。
2. 如果C的邊a的兩個頂點都不在覆蓋它的R1邊界上，可以平移R1使得都在Ri邊界上差一個小量，此時C的被覆蓋部分是原來的超集。
故只需考察C 的a 邊兩頂點分別在R1 的a, b 邊上的情況即可，其能覆蓋時候b 的取值範圍即為所求。下圖可以直觀說明，幫助理解。
圖3：平移覆蓋超集關係示意圖
3. 設C被覆蓋的另外兩邊長分別為c，d，C和R1的a邊夾角為Beta，範圍是[0, pi / 2];若存在B，使得c + d > b，則R2沿著中心對稱方向擺放時，C的兩條b邊都被完整覆蓋了，由矩形的凸性，易知C的每個點都至少被Ri中的一個覆蓋且有餘量，此時原命題要求的完整覆蓋也成立。
4. 說明，對滿足條件的b，都存在Beta使得c + d > b，原命題即得證。如圖所示，並分情況討論之：
圖4：R1覆蓋C示意圖
以上用到了基本的分類討論，均值不等式，反函數，單調性，求導，量詞表達等初等數學知識感興趣同學們可以推導玩玩，不深入討論了哈~如果把結論直觀展現出來，見下圖：
圖5，Beta，b範圍關係圖
綜上知，原命題成立，且Ri完整覆蓋的是C的短邊和兩個頂點。此時，可以計算出任意邊長b的條件下，B的取值範圍，使得覆蓋成立。如圖，具體為：
這個解稱不上簡潔，但足夠清晰，通暢，不枉費我一番功夫！
感嘆數學的奇妙，邏輯的優美，還有魔術的神奇！
感謝上帝賜予我美好的人生體驗！感謝創作過程中提出過建議，一起討論的小夥伴，感謝幫忙拍攝和入境的朋友，也謝謝各位客官看到這裡，與我一同分享這份純粹的快樂！