记一次从魔术到数学的非典型奇幻之旅

2019 年 10 月 8 日
筆記

这次奇幻的旅程，开始于2018.10.14的Kiko Pastur广州站讲座的Ace Assembly流程中一个关键而绝妙的手法，惊叹于这个魔术动作的美妙设计的同时，我开始放飞自我，一边练习回忆着讲座中的精彩内容，一边找到了一个震撼我的点，凭着本能探寻着这背后的数学原理。真是老夫聊发少年狂，经过讨论，推导，严格证明，历时一周有余，才把这个问题彻底搞定！到底是老了，没那么熟练了，可当我的思维碰撞到每一个有希望而又似曾相识的idea时，总是让我感到如此兴奋和幸福！好久没有这样的感觉了！感谢上帝！让我梦回少年！

首先，致敬Kiko，复现一下这个一度刷新我认知的Ace Assembly。

视频1

里面有很多魔术的点值得启发，逻辑感画面感的兼顾，魔术要同时是不可能和吸引人的，对魔术师而言则是审美和挑战的追求。。。。。。这里我就不一一赘述了，其中中间第二叠Ace的消失用到的方法是把要隐藏的牌安全地藏在了两张牌的下面，哪怕稍稍移动一下也不妨碍遮挡，不像完全的单张覆盖那样不能容错而对手法要求极高，却做到了更加逼真的效果，不得不服这一绝妙的方法设计。在着迷于魔术效果的同时，我的思绪已经飞到了逻辑的另一侧：任何两张牌都能完美遮挡一个和他一样大牌吗？是不是对牌的长宽比有一些要求？

裁剪了两张（卫生）纸，撕成长条状，试了又试，发现正方形显然做不到这一点，而长边：短边 < 2时候，直接把两个矩形沿长边拼起来，再把待覆盖矩形垂直过来摆放，这显然就是一个可行解了。可是如果长边：短边 >= 2呢？恕我剪纸误差太大，实在难以肉眼判断，后来经过严格证明，发现除了正方形，任意长方形都能满足要求！哪怕是一个长纸条到无穷远！请看图！

图1：长边：短边 < 2的可行解

图2：长边很长时候的可行解

几何的世界真是奇妙！

用数学语言描述一下上述问题：

两个一样大的矩形，满足什么条件的时候，能安全覆盖住一个和它一样大的矩形？（安全覆盖：被盖住的矩形往任何方向移动一个小量，都不影响覆盖成立。例如，完全重合的两个图形不算安全覆盖。）

答案是：其边长比不等于1，即是一个非正方形时。下面证明之。

问题分析：

感觉是一个很直觉化的问题，应该通过简单的几何关系规律就能解决，也生怕小题大作而贻笑大方了。和几位朋友聊了聊，有联想到测度论的，井盖是除了是圆的还可以是什么形状的，还有人说不清道不明地画图试图证明，而我也建系设点，列式化简，无奈简单的矩形，要精确表达覆盖的含义，还真不好求解。

看来没办法，直接上几何证明了，三角函数关系确实有些生疏，道路也是曲折的，好歹最后终于达到了光辉的顶点！

以下是证明过程：

证明：

不妨设安全覆盖的两个矩形为R1,2，被安全覆盖矩形为C，其边长为a = 1, b长度任意。

1. 若安全覆盖成立，那么其情形应该是R1,2分别覆盖了C的互不重复的两个相邻顶点及其边a；剩余2条边b被R1,2分别覆盖一部分。

首先，R1 不可能覆盖C 的对角线及其两个顶点，因为对角线是矩形最长截面线，要覆盖则完全重合，不合题意。而C 有两组互斥的对角线顶点，若R1 覆盖3 个及以上的顶点，根据容斥原理，必包含一组对角线顶点，故R1 最多覆盖2 个相邻顶点，又完美覆盖要求4 个顶点全覆盖，所以，R1, 2 分别完美覆盖C 的两个相邻顶点，得证。

2. 如果C的边a的两个顶点都不在覆盖它的R1边界上，可以平移R1使得都在Ri边界上差一个小量，此时C的被覆盖部分是原来的超集。

故只需考察C 的a 边两顶点分别在R1 的a, b 边上的情况即可，其能覆盖时候b 的取值范围即为所求。下图可以直观说明，帮助理解。

图3：平移覆盖超集关系示意图