高等数学——手撕牛顿莱布尼茨公式
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今天是高等数学专题的第13篇文章，我们来看看定积分究竟应该怎么计算。
定积分的实际意义
通过之前的文章，我们基本上熟悉了定积分这个概念和它的一些简单性质，今天终于到了正题，我们要试着来算一算这个积分了。
我们先来回忆一下对定积分的直观感受，它可以代表一段曲形面积，比如：
如果我们把上图当中的f(x)看成是速度函数，x轴看成是时间，那么f(x)就表示时刻x时物体运动的速度。那么我们把所有瞬时移动的距离累加，就得到了物体在某个时间段内的位移矢量，而这个位移长度恰好就是我们曲形的面积。我们把定积分和物理上的位移进行挂钩之后，很容易得出一个结论，在物理学上，一个物体发生的位移和时间也是一一映射的关系，所以这也是一个函数。
有了这个结论之后，我们就可以做一个假设，假设一个函数s(t)满足：
\]
其中的a是一个定值，我们可以认为是位移发生的起始时刻，s(t)就是物体位移和时间的函数。所以a到b这段时间内发生的位移就等于\(s(b) – s(a) = \int_a^b f(t)dt\).
计算推导
当我们把定积分和物理位移挂钩的时候，我们距离求解它已经很接近了。
根据物理上的定义，物体的运动速度其实就等于位置矢量随时间的变化率，虽然不够严谨，但其实这是一个微分量，可以近似看成是位移函数的导数。当然这个只是直观的认识，我们还需要用严谨的数学语言来表达。
我们假设f(x)函数在区间[a, b]上连续，并且\(\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt, (a \leq x \leq b)\)，我们试着证明\(\Phi'(x) = f(x)\)。
我们取一个绝对值足够小的\(\Delta x\)，使得\(x + \Delta x \in (a, b)\)，那么：
\]
我们用它减去\(\Phi(x)\)，得到：
\Delta \Phi &= \Phi(x+\Delta x) – \Phi(x) \\
&= \int_a^{x+\Delta x} f(t)dt – \int_a^x f(t)dt\\
&= \int_x^{x+\Delta x}f(t)dt
\end{aligned}
\]
根据我们积分中值定理，可以得到，存在\(\xi \in (x, x+\Delta x)\)，使得：
\Delta \Phi &= f(\xi) \Delta x\\
\frac{\Delta \Phi}{\Delta x} &= f(\xi)
\end{aligned}
\]
由于f(x)在[a, b]上连续，并且\(\Delta x\to 0\)，所以\(\xi \to x\)，因此\(\lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) = f(x)\)，进一步就证明了\(\Phi(x)\)的导数存在，并且：
\]
到这里已经距离我们的目标非常接近了，只差最后一步。这最重要的一步有两个数学大牛对它声明主权，一个是牛顿，另一个是莱布尼茨。这也是数学界一桩非常出名的公案，这背后的故事背景非常复杂，属于典型的公说公有理婆说婆有理的桥段。有一部著名的纪录片叫做《一部微积分的恩怨史》讲的就是这一段故事，感兴趣的同学可以去B站围观一下。
为了避免引战，很多课本上都把它叫做牛顿-莱布尼茨公式，用两个人的名字共同命名。
牛顿-莱布尼茨公式
根据原函数的定义，从上面的结论当中我们可以得到\(\Phi(x)\)是函数\(f(x)\)在[a, b]上的一个原函数。我们假设F(x)也是f(x)的一个原函数，所以我们可以知道\(F(x) – \Phi(x) = C\)，这里的C是一个常数。
令x = a，那么可以得到\(F(a) – \Phi(a) = C\)，根据\(\Phi(x)\)的定义，我们可以知道\(\Phi(a) = 0\)，所以\(F(a) = C\)，并且\(\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt\)，代入可以得到：
F(x) – \Phi(x) &= C\\
F(x) – \int_a^x f(t)dt &= F(a)\\
\int_a^x f(t)dt &= F(x) – F(a)
\end{aligned}
\]
我们把b代入，可以得到\(\int_a^x f(x)dx = F(b) – F(a)\)，这个式子就是牛顿莱布尼茨公式。
我们回顾一下上面的推导过程，难度并不大，但是几个代换处理非常巧妙，不然的话即使我们可以得到结论，也并不严谨。
总结
有了定积分的计算公式之后，很多我们之前无法解决的问题就都可以解决了，由此奠定了整个微积分的基础，不仅推动了数学的发展，也带动了理工科几乎所有的学科。在各大理工学科之中几乎都有用到微积分进行一些复杂的计算，即使是看起来和数学不那么相关的计算机领域也不例外，这也是大学里为什么给所有理工科的学生开设了这门课的原因。
但遗憾的是，在我们学习的时候往往很难预见它的重要性，然而当我们预见这一点的时候，往往已经是很多年之后，没有那样的环境和时间给我们去好好学习了。
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