高等數學——手撕牛頓萊布尼茨公式

• 2020 年 4 月 24 日
• 筆記
• 定積分, 數學基礎, 高等數學

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今天是高等數學專題的第13篇文章，我們來看看定積分究竟應該怎麼計算。

定積分的實際意義

通過之前的文章，我們基本上熟悉了定積分這個概念和它的一些簡單性質，今天終於到了正題，我們要試著來算一算這個積分了。

我們先來回憶一下對定積分的直觀感受，它可以代表一段曲形面積，比如：

如果我們把上圖當中的f(x)看成是速度函數，x軸看成是時間，那麼f(x)就表示時刻x時物體運動的速度。那麼我們把所有瞬時移動的距離累加，就得到了物體在某個時間段內的位移矢量，而這個位移長度恰好就是我們曲形的面積。我們把定積分和物理上的位移進行掛鉤之後，很容易得出一個結論，在物理學上，一個物體發生的位移和時間也是一一映射的關係，所以這也是一個函數。

有了這個結論之後，我們就可以做一個假設，假設一個函數s(t)滿足：

其中的a是一個定值，我們可以認為是位移發生的起始時刻，s(t)就是物體位移和時間的函數。所以a到b這段時間內發生的位移就等於\(s(b) – s(a) = \int_a^b f(t)dt\).

計算推導

當我們把定積分和物理位移掛鉤的時候，我們距離求解它已經很接近了。

根據物理上的定義，物體的運動速度其實就等於位置矢量隨時間的變化率，雖然不夠嚴謹，但其實這是一個微分量，可以近似看成是位移函數的導數。當然這個只是直觀的認識，我們還需要用嚴謹的數學語言來表達。

我們假設f(x)函數在區間[a, b]上連續，並且\(\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt, (a \leq x \leq b)\)，我們試著證明\(\Phi'(x) = f(x)\)。

我們取一個絕對值足夠小的\(\Delta x\)，使得\(x + \Delta x \in (a, b)\)，那麼：

我們用它減去\(\Phi(x)\)，得到：

根據我們積分中值定理，可以得到，存在\(\xi \in (x, x+\Delta x)\)，使得：

由於f(x)在[a, b]上連續，並且\(\Delta x\to 0\)，所以\(\xi \to x\)，因此\(\lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) = f(x)\)，進一步就證明了\(\Phi(x)\)的導數存在，並且：

到這裡已經距離我們的目標非常接近了，只差最後一步。這最重要的一步有兩個數學大牛對它聲明主權，一個是牛頓，另一個是萊布尼茨。這也是數學界一樁非常出名的公案，這背後的故事背景非常複雜，屬於典型的公說公有理婆說婆有理的橋段。有一部著名的紀錄片叫做《一部微積分的恩怨史》講的就是這一段故事，感興趣的同學可以去B站圍觀一下。

為了避免引戰，很多課本上都把它叫做牛頓-萊布尼茨公式，用兩個人的名字共同命名。

牛頓-萊布尼茨公式

根據原函數的定義，從上面的結論當中我們可以得到\(\Phi(x)\)是函數\(f(x)\)在[a, b]上的一個原函數。我們假設F(x)也是f(x)的一個原函數，所以我們可以知道\(F(x) – \Phi(x) = C\)，這裡的C是一個常數。

令x = a，那麼可以得到\(F(a) – \Phi(a) = C\)，根據\(\Phi(x)\)的定義，我們可以知道\(\Phi(a) = 0\)，所以\(F(a) = C\)，並且\(\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt\)，代入可以得到：

我們把b代入，可以得到\(\int_a^x f(x)dx = F(b) – F(a)\)，這個式子就是牛頓萊布尼茨公式。

我們回顧一下上面的推導過程，難度並不大，但是幾個代換處理非常巧妙，不然的話即使我們可以得到結論，也並不嚴謹。

總結

有了定積分的計算公式之後，很多我們之前無法解決的問題就都可以解決了，由此奠定了整個微積分的基礎，不僅推動了數學的發展，也帶動了理工科幾乎所有的學科。在各大理工學科之中幾乎都有用到微積分進行一些複雜的計算，即使是看起來和數學不那麼相關的電腦領域也不例外，這也是大學裡為什麼給所有理工科的學生開設了這門課的原因。

但遺憾的是，在我們學習的時候往往很難預見它的重要性，然而當我們預見這一點的時候，往往已經是很多年之後，沒有那樣的環境和時間給我們去好好學習了。

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