機器學習經典聚類演算法 —— k-均值演算法（附python實現程式碼及數據集）
- 2019 年 10 月 3 日
- 筆記
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工作原理
聚類是一種無監督的學習，它將相似的對象歸到同一個簇中。類似於全自動分類（自動的意思是連類別都是自動構建的）。K-均值演算法可以發現k個不同的簇，且每個簇的中心採用簇中所含值的均值計算而成。它的工作流程的偽程式碼表示如下：
創建k個點作為起始質心 當任意一個點的簇分配結果發生改變時 對數據集中的每個數據點 對每個質心 計算質心與數據點之間的距離 將數據點分配到距其最近的簇 對每一個簇，計算簇中所有點的均值並將均值作為質心 python實現
首先是兩個距離函數，一般採用歐式距離
def distEclud(self, vecA, vecB): return np.linalg.norm(vecA - vecB) def distManh(self, vecA, vecB): return np.linalg.norm(vecA - vecB,ord = 1) 然後是randcent(),該函數為給點的數據集構建一個包含k個隨機質心的集合
def randCent(self, X, k): n = X.shape[1] # 特徵維數，也就是數據集有多少列 centroids = np.empty((k, n)) # k*n的矩陣，用於存儲每簇的質心 for j in range(n): # 產生質心，一維一維地隨機初始化 minJ = min(X[:, j]) rangeJ = float(max(X[:, j]) - minJ) centroids[:, j] = (minJ + rangeJ * np.random.rand(k, 1)).flatten() return centroids 對於kMeans和biKmeans的實現，參考了scikit-learn中kMeans的實現，將它們封裝成類。
- n_clusters —— 聚類個數，也就是k
- initCent —— 生成初始質心的方法,’random’表示隨機生成，也可以指定一個數組
- max_iter —— 最大迭代次數
class kMeans(object): def __init__(self, n_clusters=10, initCent='random', max_iter=300): if hasattr(initCent, '__array__'): n_clusters = initCent.shape[0] self.centroids = np.asarray(initCent, dtype=np.float) else: self.centroids = None self.n_clusters = n_clusters self.max_iter = max_iter self.initCent = initCent self.clusterAssment = None self.labels = None self.sse = None # 計算兩個向量的歐式距離 def distEclud(self, vecA, vecB): return np.linalg.norm(vecA - vecB) # 計算兩點的曼哈頓距離 def distManh(self, vecA, vecB): return np.linalg.norm(vecA - vecB, ord=1) # 為給點的數據集構建一個包含k個隨機質心的集合 def randCent(self, X, k): n = X.shape[1] # 特徵維數，也就是數據集有多少列 centroids = np.empty((k, n)) # k*n的矩陣，用於存儲每簇的質心 for j in range(n): # 產生質心，一維一維地隨機初始化 minJ = min(X[:, j]) rangeJ = float(max(X[:, j]) - minJ) centroids[:, j] = (minJ + rangeJ * np.random.rand(k, 1)).flatten() return centroids def fit(self, X): # 聚類函數 # 聚類完後將得到質心self.centroids,簇分配結果self.clusterAssment if not isinstance(X, np.ndarray): try: X = np.asarray(X) except: raise TypeError("numpy.ndarray required for X") m = X.shape[0] # 樣本數量 self.clusterAssment = np.empty((m, 2)) # m*2的矩陣，第一列表示樣本屬於哪一簇，第二列存儲該樣本與質心的平方誤差(Squared Error,SE) if self.initCent == 'random': # 可以指定質心或者隨機產生質心 self.centroids = self.randCent(X, self.n_clusters) clusterChanged = True for _ in range(self.max_iter):# 指定最大迭代次數 clusterChanged = False for i in range(m): # 將每個樣本分配到離它最近的質心所屬的簇 minDist = np.inf minIndex = -1 for j in range(self.n_clusters): #遍歷所有數據點找到距離每個點最近的質心 distJI = self.distEclud(self.centroids[j, :], X[i, :]) if distJI < minDist: minDist = distJI minIndex = j if self.clusterAssment[i, 0] != minIndex: clusterChanged = True self.clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist ** 2 if not clusterChanged: # 若所有樣本點所屬的簇都不改變,則已收斂，提前結束迭代 break for i in range(self.n_clusters): # 將每個簇中的點的均值作為質心 ptsInClust = X[np.nonzero(self.clusterAssment[:, 0] == i)[0]] # 取出屬於第i個族的所有點 if(len(ptsInClust) != 0): self.centroids[i, :] = np.mean(ptsInClust, axis=0) self.labels = self.clusterAssment[:, 0] self.sse = sum(self.clusterAssment[:, 1]) # Sum of Squared Error,SSE kMeans的缺點在於——可能收斂到局部最小值。採用SSE(Sum of Squared Error，誤差平方和)來度量聚類的效果。SSE值越小表示數據點越接近於它們的質心，聚類效果也越好。
為了克服kMeans會收斂於局部最小值的問題，有人提出了一個稱為二分K-均值的演算法。該演算法偽程式碼如下：
將所有點看成一個簇 當簇數目小於k時 對於每個簇 計算總誤差 在給定的簇上面進行K-均值聚類(k=2) 計算將該簇一分為二之後的總誤差 選擇使得誤差最小的那個簇進行劃分操作 python程式碼如下：
class biKMeans(object): def __init__(self, n_clusters=5): self.n_clusters = n_clusters self.centroids = None self.clusterAssment = None self.labels = None self.sse = None # 計算兩點的歐式距離 def distEclud(self, vecA, vecB): return np.linalg.norm(vecA - vecB) # 計算兩點的曼哈頓距離 def distManh(self, vecA, vecB): return np.linalg.norm(vecA - vecB,ord = 1) def fit(self, X): m = X.shape[0] self.clusterAssment = np.zeros((m, 2)) if(len(X) != 0): centroid0 = np.mean(X, axis=0).tolist() centList = [centroid0] for j in range(m): # 計算每個樣本點與質心之間初始的SE self.clusterAssment[j, 1] = self.distEclud(np.asarray(centroid0), X[j, :]) ** 2 while (len(centList) < self.n_clusters): lowestSSE = np.inf for i in range(len(centList)): # 嘗試劃分每一族,選取使得誤差最小的那個族進行劃分 ptsInCurrCluster = X[np.nonzero(self.clusterAssment[:, 0] == i)[0], :] clf = kMeans(n_clusters=2) clf.fit(ptsInCurrCluster) centroidMat, splitClustAss = clf.centroids, clf.clusterAssment # 劃分該族後，所得到的質心、分配結果及誤差矩陣 sseSplit = sum(splitClustAss[:, 1]) sseNotSplit = sum(self.clusterAssment[np.nonzero(self.clusterAssment[:, 0] != i)[0], 1]) if (sseSplit + sseNotSplit) < lowestSSE: bestCentToSplit = i bestNewCents = centroidMat bestClustAss = splitClustAss.copy() lowestSSE = sseSplit + sseNotSplit # 該族被劃分成兩個子族後,其中一個子族的索引變為原族的索引，另一個子族的索引變為len(centList),然後存入centList bestClustAss[np.nonzero(bestClustAss[:, 0] == 1)[0], 0] = len(centList) bestClustAss[np.nonzero(bestClustAss[:, 0] == 0)[0], 0] = bestCentToSplit centList[bestCentToSplit] = bestNewCents[0, :].tolist() centList.append(bestNewCents[1, :].tolist()) self.clusterAssment[np.nonzero(self.clusterAssment[:, 0] == bestCentToSplit)[0], :] = bestClustAss self.labels = self.clusterAssment[:, 0] self.sse = sum(self.clusterAssment[:, 1]) self.centroids = np.asarray(centList) 上述函數運行多次聚類會收斂到全局最小值，而原始的kMeans()函數偶爾會陷入局部最小值。
演算法實戰
對mnist數據集進行聚類
從網上找的數據集data.pkl。該數據集是mnist中選取的1000張圖，用t_sne降維到了二維。
讀取文件的程式碼如下：
dataSet, dataLabel = pickle.load(open('data.pkl', 'rb'), encoding='latin1') print(type(dataSet)) print(dataSet.shape) print(dataSet) print(type(dataLabel)) print(dataLabel.shape) print(dataLabel) 列印出來結果如下：
<class 'numpy.ndarray'> (1000, 2) [[ -0.48183008 -22.66856528] [ 11.5207274 10.62315075] [ 4.76092787 5.20842437] ... [ -8.43837464 2.63939773] [ 20.28416829 1.93584107] [-21.19202119 -4.47293397]] <class 'numpy.ndarray'> (1000,) [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 9 5 5 6 5 0 9 8 9 8 4 1 7 7 3 5 1 0 0 2 2 7 8 2 0 1 2 6 3 3 7 3 3 4 6 6 6 ... 3 7 3 3 4 6 6 6 4 9 1 5 0 9 5 2 8 2 0 0 1 7 6 3 2 1 4 6 3 1 3 9 1 7 6 8 4 3] 開始使用之前編寫的演算法聚類，並多次運行保存sse最小的一次所得到的圖。
def main(): dataSet, dataLabel = pickle.load(open('data.pkl', 'rb'), encoding='latin1') k = 10 clf = biKMeans(k) lowestsse = np.inf for i in range(10): print(i) clf.fit(dataSet) cents = clf.centroids labels = clf.labels sse = clf.sse visualization(k, dataSet, dataLabel, cents, labels, sse, lowestsse) if(sse < lowestsse): lowestsse = sse if __name__ == '__main__': main() 
小結
聚類是一種無監督的學習方法。所謂無監督學習是指事先並不知道要尋找的內容，即沒有目標變數。聚類將數據點歸到多個簇中，其中相似數據點處於同一簇，而不相似數據點處於不同簇中。聚類中可以使用多種不同的方法來計算相似度(比如本文是使用距離度量)
K-均值演算法是最為廣泛使用聚類演算法，其中的k是指用戶指定要創建的簇的數目。K-均值聚類演算法以k個隨機質心開始。演算法會計算每個點到質心的距離。每個點會被分配到距其最近的簇質心，然後緊接著基於新分配到簇的點更新簇質心。以上過程重複數次，直到簇質心不再改變。這種方法易於實現，但容易受到初始簇質心的影響，並且收斂到局部最優解而不是全局最優解。
還有一種二分K-均值的演算法，可以得到更好的聚類效果。首先將所有點作為一個簇，然後使用K-均值演算法(k=2)對其劃分。下一次迭代時，選擇有最大誤差的簇進行劃分。該過程重複直到k個簇創建成功為止。
附錄
文中程式碼及數據集：https://github.com/Professorchen/Machine-Learning/tree/master/kMeans
