基於Noisy Channel Model和Viterbi演算法的詞性標註問題
- 2020 年 3 月 4 日
- 筆記
給定一個英文語料庫，裡面有很多句子，已經做好了分詞，/前面的是詞，後面的表示該詞的詞性並且每句話由句號分隔，如下圖所示
對於一個句子S，句子中每個詞語(w_i)標註了對應的詞性(z_i)。現在的問題是，再給定一個句子S『，生成每個詞(w'_i)的詞性(z'_i)
也就是要求使得概率(P(Z|S))最大的(Z)，由貝葉斯定理可得
[ begin{align*} P(Z|S)&=frac{P(S|Z)P(Z)}{P(S)}\ &propto P(S|Z)·P(Z)\ &=P(w_1,w_2,…,w_N|z_1,z_2,…,z_N)·P(z_1,z_2,…,z_N)\ &=prod_{i=1}^{N}P(w_i|z_i)·P(z_1)P(z_2|z_1)···P(z_N|z_{N-1})\ &=prod_{i=1}^{N}P(w_i|z_i)·P(z_1)prod_{j=2}^NP(z_j|z_{j-1}) end{align*} ]
其中，倒數兩行的公式推導過程中，使用了如下兩個假設：
- HMM假設，即(w_i)僅與(z_i)相關，與其它所有單詞或詞性相互獨立。因此(P(w_1,…,w_N|z_1,…,z_N))可化簡為(prod_{i=1}^{N}P(w_i|z_i))
- 假設Language Model為bigram。因此(P(z_1,…,z_N))可寫成(P(z_1)P(z_2|z_1)···P(z_N|z_{N-1}))，即(P(z_1)prod_{j=2}^NP(z_j|z_{j-1}))
由於整個式子存在大量的概率連乘，最終可能導致浮點數下溢，為了避免這種情況，我們可以採用取對數的方法，將乘變加，基於上述思想，式子結果最終轉化為
[ begin{align*} P(Z|S)&=log(prod_{i=1}^{N}P(w_i|z_i)·P(z_1)prod_{j=2}^NP(z_j|z_{j-1})\ &=sum_{i=1}^Nlog(P(w_i|z_i))+logP(z_1)+sum_{j=2}^NlogP(z_j|z_{j-1}) end{align*} ]
確定參數
最終的概率函數中包含三個可變參數，下面分別解釋其含義
第一個參數：(A=P(w_i|z_i))
參數(A)表示，在給定詞性(z_i)的情況下，其對應的單詞是(w_i)的條件概率，即所有被標記為詞性(z_i)的單詞中，單詞(w_i)的佔比
[ P(w_i|z_i)=frac{詞性為z_i的w_i的數量}{詞性為z_i的單詞總數} ]
舉例來說，假設現在先給定詞性NN(名詞)，其中對應單詞是apple的概率肯定要高於eat，即(P(apple|NN)>P(eat|NN))
為了後面計算方便，我們把參數(A)的取值空間存放在一個N行M列的矩陣中，其中N為語料庫中不同詞性的數量，M為語料庫中不同單詞的數量。矩陣的每一行表示一個詞性，每一列表示一個單詞，矩陣元素(a_{ij})表示在所有詞性為(i)的單詞中，單詞(j)的佔比（即條件概率），由此可知，同一行中所有所有概率之和為1，即(sum_{j=1}^Ma_{ij}=1)
計算矩陣A很簡單，首先定義一個大小為(Ntimes M)的全0矩陣，然後遍歷語料庫中的每一行單詞/詞性，將矩陣對應中對應的"當前遍歷到的詞性"行和"當前遍歷到的單詞"列位置的數值加1
最後進行歸一化，因為到目前為止矩陣中存的是count，而我們需要的probability，所以用每個元素除以所在行元素之和即可
最終得到的參數(A)矩陣的一般形式如下圖所示
第二個參數：(pi=P(z_i))
參數(pi)表示句首詞性是(z_i)的概率，即計算所有在句首的詞性中(z_i)的佔比
[ P(z_i)=frac{句首詞性是z_i的數量}{句首詞性總數量} ]
舉例來說，一般句首是NN(名詞)的概率要高於VB(動詞)，即(P(NN)>P(VB))
參數(pi)的取值範圍可以保存在一個長度為(N)的向量中，(N)為語料庫中不同詞性的數量。可以推知，此向量的元素之和為1，即(sum_{i=1}^NP(i)=1)
首先用0初始化向量(pi)，長度為(N)。然後遍歷語料庫中的每一行單詞/詞性，判斷當前單詞是否在句首，判斷的依據是看前一個單詞是否是句號、感嘆號、問號等終止性標點符號。如果是句首，則取出當前詞性，並將向量中對應"當前遍歷到的詞性"位置的數值加1
最後進行歸一化，用每個元素除以向量所有元素之和，即得到佔比（概率）
第三個參數：(B=P(z_i|z_{i-1}))
參數(B)表示給定前驅詞性為(z_{i-1})，當前詞性為(z_i)的條件概率，即計算在前驅詞性為(z_{i-1})的(前驅詞性,當前詞性)組合對中，當前詞性為(z_i)的組合對的佔比
[ P(z_i|z_{i-1})=frac{當前詞性為z_{i-1}且前驅詞性為z_i的bigram數量}{前驅詞性為z_i的bigram總數} ]
舉例來說，對於給定的前驅詞性VB(動詞)，當前詞性為NN(名詞)的概率要高於VB(動詞)，即(P(NN|VB)>P(VB|VB))
參數(B)是一個(Ntimes N)的矩陣，(N)為語料庫中不同詞性的數量。矩陣的行表示前驅詞性，列表示當前詞性，矩陣元素(b_{ij})表示前驅詞性為(i)時，當前詞性為(j)的條件概率，由此可知同一行中所有元素之和為1，即(sum_{j=1}^Nb_{ij}=1)
矩陣(B)的計算很簡單，首先定義一個大小為(Ntimes N)的全0方陣。然後遍歷語料庫，統計詞性序列的bigram，將方陣中對應的"前驅詞性"行和"當前詞性"列位置的數值加1
最後進行歸一化，用每個元素除以所在行元素之和，即得到所在行佔比（概率）
tag2id, id2tag = {}, {} # tag2id: {"VB":0,...}, id2tag: {0:"VB",...} word2id, id2word = {}, {} for line in open('traindata.txt'): items = line.split('/') word, tag = items[0], items[1].rstrip() # 去掉換行符 if word not in word2id: word2id[word] = len(word2id) id2word[len(id2word)] = word if tag not in tag2id: tag2id[tag] = len(tag2id) id2tag[len(id2tag)] = tag N = len(tag2id) # number of tags M = len(word2id) # number of words print(N, M) # define pi, A, B import numpy as np pi = np.zeros(N) # pi[i] 表示tag i出現在句子開頭的概率, vector A = np.zeros((N, M)) # A[i][j] 表示給定tag i, 出現word j的概率, matrix B = np.zeros((N, N)) # B[i][j] 表示前一個是tag i, 後一個是tag j的概率, matrix pre_tag = -1 # 記錄前一個tag的id for line in open('traindata.txt'): items = line.split('/') wordid, tagid = word2id[items[0]], tag2id[items[1].rstrip()] if pre_tag == -1: # 這意味著是句子的開始 pi[tagid] += 1 A[tagid][wordid] += 1 pre_tag = tagid else: # 不是句子開頭 A[tagid][wordid] += 1 B[pre_tag][tagid] += 1 if items[0] == '.': pre_tag = -1 else: pre_tag = tagid # normalize pi /= sum(pi) # probability for i in range(N): A[i] /= sum(A[i]) B[i] /= sum(B[i])計算最優解
通過前面的分析，我們已經確定了三個參數及其取值空間，接下來可以用暴力枚舉的方法測試出使得目標函數最大的參數取值，但時間複雜度太高，不建議採用
通過分析，我們發現這是一個最優化問題，而且問題的求解可以分為(T)個步驟（(T)為測試集的文本長度），每個步驟求解方式相同，符合動態規劃演算法的應用場景
設
[ score=sum_{i=1}^TlogP(w_i|z_i)+logP(z_1)+sum_{j=2}^TlogP(z_j|z_{j-1}) ]
我們的目標是對於給定的文本(S=w_1w_2…w_T)，給這(T)個單詞分別賦予一個詞性（有(N)個可選詞性），使得score的值最大。score的計算過程描述如下
圖中黑點給出了一個示例的標記方案（如同一條路徑）：
- (w_1)被標記為(pos_2)
- (w_2)被標記為(pos_1)
- (w_3)被標記為(pos_3)
- …
- (w_T)被標記為(pos_T)
該路徑的score值為
[ begin{align*} score &= logP(w_1|pos_2)+logP(pos_2)\ &+logP(w_2|pos_1)+logP(pos_1|pos_2)\ &+logP(w_3|pos_3)+logP(pos_3|pos_1)\ &+…\ &+logP(w_T|pos_1)+logP(pos_1|pos_3) end{align*} ]
從上式可以看出，score的求解過程分為(T)個步驟，每個步驟有(N)種選擇。因為我們可以定義一個(Ttimes N)的二維數組DP，為了描述的方便，我們假設數組的下標從0開始，其中元素DP[i][j]表示從第一個單詞開始，當計算到第(i)個單詞（第(i)步）且將詞性標記為(j)時的最優路徑（最大概率）
狀態轉移方程為
[ begin{align*} DP[i][j]=max(&\ &dp[i-1][0]+logB[0][j]+logA[j][w_i在詞典中的下標],\ &dp[i-1][1]+logB[1][j]+logA[j][w_i在詞典中的下標],\ &dp[i-1][2]+logB[2][j]+logA[j][w_i在詞典中的下標],\ &…\ &dp[i-1][N-1]+logB[N-1][j]+logA[j][w_i在詞典中的下標],\ ) end{align*} ]
最終答案（最大的概率值），就是max(DP[T-1][0],DP[T-1][1],...,DP[T-1][N-1])。但是光有概率不夠，我們還需要記錄，這個概率是通過怎樣的路徑過來的，這個路徑就是每個詞的詞性。因此我們還需要另外建立一個(Ttimes N)的二維數組，用於記錄最優的詞性選擇路徑
viterbi演算法部分的程式碼如下
def log(v): if v == 0: return np.log(v + 0.0000001) return np.log(v) def viterbi(x, pi, A, B): """ x: user input string/sentence pi: initial probability of tags A: 給定tag，每個單詞出現的概率 B: tag之間的轉移概率 """ x = [word2id[word] for word in x.split(" ")] T = len(x) dp = np.zeros((T, N)) path = np.array([[0 for x in range(N)] for y in range(T)]) # T*N for j in range(N): # basecase for dp algorithm dp[0][j] = log(pi[j]) + log(A[j][x[0]]) for i in range(1, T): # every words for j in range(N): # every tags dp[i][j] = -9999999 for k in range(N): # 從每個k可以到達j score = dp[i-1][k] + log(B[k][j]) + log(A[j][x[i]]) if score > dp[i][j]: dp[i][j] = score path[i][j] = k # print best tag sequence best_seq = [0] * T # best_seq = [1, 5, 0, 3, 55, ...] # step1: 找出最後一個單詞的詞性 best_seq[T-1] = np.argmax(dp[T-1]) # 求出最大值所在下標 # step2: 通過從後往前的循環以此求出每個單詞的詞性 for i in range(T-2, -1, -1): best_seq[i] = path[i + 1][best_seq[i + 1]] # step3: print for i in range(len(best_seq)): print(id2tag[best_seq[i]]) # Test x = "Social Security number , passport number and details about the services provided for the payment" viterbi(x, pi, A, B)
