論人類下一代語言的可能—5.3公理系統
在本書中，我們把公理演繹系統作為領域理論的一種目標模式來看待，這主要是從論述方便上考慮的。本書以符號的使用作為主題，並不需要去假設科學的模式以及類似問題的答案。實踐中，多數的學科領域都很難達到公理化的理論程度。然而，圍繞公理化的思想與方法的發展，是理解科學領域符號使用的一個關鍵的脈絡，有必要多說二句。
一個公理系統從一組初始概念與公理出發，這組公理需要滿足：
1完備性
2獨立性
3相容性
公理系統的完備性是指從這組概念與公理出發，可以推演證明領域所有已知的真命題。我們無法判斷公理系統是否完備，完備性只能證偽，出現不能證明的命題，完備性就不滿足。這時候，可以通過增加或調整公理集，然後再來進行證明，如果可行，那麼新的公理系統又可處於完備狀態，否則只能推倒重來。
公理系統的獨立性是指公理集中的各公理相互獨立，不可能從其中的一些公理推導出另一些公理，否則應把可推出的公理作為定理來安排。獨立性讓公理系統變得經濟：可以以更少的公理達到完備性。相關的情形還包括：公理數量沒有減少，但能概括的範圍更廣，這可認為是所選擇的概念與公理更基礎；公理數量沒有減少，且概括範圍未擴大，但系統更簡潔、更易理解或更優雅，這也是我們所追求的。牛頓物理學中，先期以力的概念作為基礎概念，後期動量、動能的概念變得更基礎，因為後者可以帶來更簡潔的系統形式，更容易派生出其他需要用到的概念與定理。
公理系統的相容性指從公理出發所能證明的任意二個命題不能矛盾，這是自洽性的基本要求，也是不斷出現爭論的地方。從後世的標準看，歐幾里德的《幾何原本》在滿足上述的要求上是不夠嚴謹的。歐幾里德引入了一些未經定義的概念，不自覺應用了空間的直觀。歐幾里德在《幾何原本》里的邏輯推理、證明也都是依賴於人腦的思考，同時代的邏輯學不足以支撐其中的邏輯應用。歷史上，歐幾里德《幾何原本》第五公設是爭論的焦點：
「同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內角之和小於180°，則這兩條直線經無限延長後在這一側一定相交」
用與第五公設相矛盾的命題替代它，並未產生矛盾的系統，而是帶來了非歐幾里德幾何，比如後來用於廣義相對論的黎曼幾何。非歐幾何的出現否定了公理系統公理可以不證自明，那麼公理系統的真理性如何保障？
歐幾里德的《幾何原本》最初被認為是關於空間關係的理論，「點」「線」「面」被認為是實際空間對象的抽象，公理是「點」「線」「面」基本關係的描寫，後續定義產生更多更具體的空間對象，定理則是各種空間對象之間具體關係的斷言。二十世紀德國數學家希爾伯特（David Hilbert，1862.1-1943.2）認為公理應脫離對直觀的依賴，讓對象、關係成為單純的符號，並與形式化的謂詞邏輯結合，以符號的表達式表示公理，證明變成純形式上的轉換，這也就是所說的「形式化」。按照希爾伯特的想法，所有的數學分支在其樸素公理化的基礎上，還應該形成一個形式化的公理系統。這個形式化的公理系統也稱為樸素公理系統的元語言。數學的真理就歸為形式公理系統的相容性，即理論上無矛盾。在上一節的論述中我們也採用同樣的觀點。希爾伯特按形式化要求用自然語言具體重構了歐幾里德幾何，希爾伯特的幾何公理系統的公理分五組，每組由一條或多條公理構成。同時代的其他數學家也對其他數學分支的基礎進行了公理化、形式化處理，包括前述義大利數學家皮亞諾所建立的算術公理系統，這是一個完全由抽象符號組成的系統。
奧地利裔美國數學家哥德爾（Kurt Gödel,1906.4-1978.1）於1931年提出了不完備定理，證明：任何一個公理系統，只要包括了算術公理的描述，它必定包含某些系統內所允許的方法既不能證明為真也不能證偽的命題。哥德爾不完備定理說明希爾伯特所尋求的數學可靠基礎是不存在的，這是一個影響深遠的結論。
