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FMM 大戰 LMM – SOFR 企穩 Part II

2020 年 2 月 26 日
筆記

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引言

本文是金融工程特別系列的第二篇

FMM 大戰 LMM – SOFR 企穩 Part I
FMM 大戰 LMM – SOFR 企穩 Part II

金融工程正規系列

弄清量化金融十大話題 (上)
弄清量化金融十大話題 (下)
金融工程高度概覽
日期生成
變數計算
模型校正
曲線構建 I – 單曲線
曲線構建 II – 多曲線 (基差)
曲線構建 III – 多曲線方法 (抵押品)
測度轉換 (上) – 等價物轉換
測度轉換 (下) – 漂移項轉換
產品估值理論
產品估值 – 解析法和數值積分法 (CF)
產品估值 – 偏微分方程有限差分法 (PDE-FD)
產品估值 – 蒙特卡洛模擬法 (MC)
產品風險理論 (AAD)
風險計量 – 敏感度 (Greeks & Sensitivities)
風險計量 – 風險價值 (VaR)
價值調整 – 凸性調整
價值調整 – Quanto 調整
價值調整 – 時間調整
價值調整 – CVA
價值調整 – DVA
價值調整 – FVA
價值調整 – MVA
價值調整 – KVA

前言

在上貼中「FMM 大戰 LMM 1」中，我們主要解決了用 RFR 複合利率來替代 IBOR 的痛點，即兩者的利率範式都不同

前者是後顧型（backward-looking）利率，在終止日才能知道其值
後者是前瞻型（forward-looking）利率，在起始日就已經知道其值

解決方案就是設計出一個「前瞻型」的 RFR 複合利率。具體來講在區間 [Tn-1, Tn] 上用 Fn(t) 來代表這樣的前瞻型利率，它和 LIBOR Market Model (LMM) 里的 IBOR Ln(t) 的範式相同，都是在 Tn-1 上定盤，而且利率有效的期限都是 [Tn-1, Tn]。

但在定價利率複雜產品時需要對一連串的 Fn(t) 進行建模，這時我們需要在某個特定測度下推出每個Fn(t) (n = 1, 2, …, N) 的隨機微分方程（Stochastic Differential Equation, SDE）。類比 LMM 的叫法，對 Fn(t) 建的模型就叫做 FMM，全稱是 Forward Market Model。這就是本帖講解的內容，目錄如下：

第一章 – 基礎知識

1.1 延伸版 T-遠期測度

1.2 向前看 vs 向後看的即期利率

1.3 向前看 vs 向後看的遠期利率

1.4 FMM vs LMM 比較

第二章 – 遠期市場模型 FMM

2.1 期限結構

2.2 風險中性測度下的 Fn(t)

2.3 即期測度下的 Fn(t)

2.4 Tk-遠期測度下的 Fn(t)

第三章 – RFR 產品估值

3.1 RFR 期貨

3.2 RFR 掉期

3.3 RFR 上下限

3.4 RFR 掉期期權

3.5 RFR 期限結構類產品

3.6 RFR 複雜產品

第四章 – FMM 模型校正

4.1 波動率建模

4.2 相關性建模

Forward Market Model

2.1

期限結構

首先制定出一組期限結構（tenor structure），供一串遠期利率在上面玩耍。

FMM 框架中的遠期利率基於一個固定的期限結構 0 = T0 < T1 < … < TN，每個區間的年限為 τn= Tn – Tn-1, n = 1, 2, …, N, 一般是 3 個月或者 6 個月，[Tn-1, Tn] 也稱為遠期利率 Fn(t) 的累積區間。對於每個時間 t，定義索引函數 η(t) = min{n: Tn ≥ t}，它表示離 t 最近但大於 t 的期限所對應的索引，即 Tη(t)-1 ≤ t < Tη(t).

當我們寫出 Fn(t) 的時候，通常假設 n ≥ η(t)，要不然 Fn(t) 已經是常數而失去了模擬的意義。