行列式學習筆記（一）

• 2022 年 7 月 5 日
• 筆記

什麼是行列式

教科書對二階行列式的定義是這樣的。
對於一個二元一次方程組：

經過消元可以得到：

\(x\) 的解同理可得。
我們發現當 \(a_{12}a_{21} \neq a_{22}a_{11}\) 方程有唯一解。
這時我們這樣來表示 \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)：

所以我根本沒有搞懂有什麼用。

下面來介紹一種比較好懂的理解方法。
我們知道「 矩陣可以表示一組向量，方陣表示 \(n\) 個 \(n\) 維向量 」。
也就是每行看成一個向量，豎著把所有向量合併可以確定一個 \(n\) 維的圖形。
來張二維的圖看一看：

我們的二階行列式在上圖中就表示平行四邊形的面積。
當然，二維是面積，三維是體積，四維是 ？？？ ……
上面這個平行四邊形面積可以表示為：

注意到，每一行都對應上圖中的一個向量。

行列式的求法

我們從小學數學入手，先求上述平行四邊形的面積（輔助線做法省略）

也就是：

行列式的基本性質

下面以二階行列式展開討論。

性質一

\(I\) 表示單位矩陣，這很好理解：
所有向量都是 「橫平豎直」 且長度都是一，面積一定是 \(1\)。

性質二

交換行列式的兩行，則行列式的值取反。
用數學公式表示：

證明很簡單：

性質三

直接用數學公式表達吧。（語文不行）

簡單證明一下吧。

注意：\(\det (kA) \neq k\det (A)\)
對於二階行列式：

由此可以推出，對於 \(n\) 階的行列式：

性質四

方陣的某一行加上一行數，則有：

證明一下：