統計字元串中不同迴文子序列的個數

統計字元串中不同迴文子序列的個數

作者:Grey

原文地址: 統計字元串中不同迴文子序列的個數

問題描述

給定一個字元串str,當然可以生成很多子序列,返回有多少個子序列是迴文子序列,空序列不算迴文,比如,str = 「aba」迴文子序列有

{a}:0位置上的a
{a}:2位置上的a
{a,a}
{b}
{a,b,a}

所以返回5。

暴力解法

枚舉每個子序列,然後判斷子序列是否是迴文,程式碼如下

    public static int ways1(String str) {
        if (str == null || str.length() == 0) {
            return 0;
        }
        char[] s = str.toCharArray();
        char[] path = new char[s.length];
        return process(str.toCharArray(), 0, path, 0);
    }
    // 枚舉每個位置要或者不要情況下,得到迴文子序列的個數是多少
    public static int process(char[] s, int si, char[] path, int pi) {
        if (si == s.length) {
            return isP(path, pi) ? 1 : 0;
        }
        int ans = process(s, si + 1, path, pi);
        path[pi] = s[si];
        ans += process(s, si + 1, path, pi + 1);
        return ans;
    }
    // 判斷path串中0...pi-1是不是迴文
    public static boolean isP(char[] path, int pi) {
        if (pi == 0) {
            return false;
        }
        int L = 0;
        int R = pi - 1;
        while (L < R) {
            if (path[L++] != path[R--]) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

動態規劃解

定義二維數組dp,數組長度假設為n

int[][] dp = new int[n][n]

dp[i][j]的含義是:字元串[i...j]區間內可以得到的最多迴文子序列個數,所以,dp[0][n-1]的值就是我們需要求的最終答案。

根據dp數組的含義,我們可以得到,二維矩陣dp中的對角線上的值都是1, 對角線上面的位置也可以很容易得出,見如下注釋

// 對角線上的值都是1
for (int i = 0; i < n; i++) {
    dp[i][i] = 1;
}
// 對角線上面的位置,即dp[i][i+1]上的值
// 如果str[i] == str[i+1],比如:aa,有三個迴文子序列,分別是{a},{a},{aa}
// 如果str[i] != str[i+1],比如:ab,有兩個迴文子序列,分別是 {a},{b}
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    dp[i][i+1] = str[i] == str[i+1] ? 3 : 2;
}

接下來考慮普遍位置dp[i][j],可以有如下幾種情況:

情況一,i位置的字元棄而不用,那麼dp[i][j] = dp[i+1][j]

情況二,j位置的字元棄而不用,那麼dp[i][j] = dp[i][j-1]

基於情況一和情況二,

dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1]

這個時候,其實是算重了一部分,算重的部分是dp[i+1][j-1],所以

dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1]

如果str[i] == str[j],則存在情況三,情況三中,str[i]str[j]可都保留,與區間[i+1...j-1]形成迴文串,str[i]也可以單獨和str[j]形成一個迴文串。所以,情況三

// dp[i][j]分成兩部分
// 其中:
// 第一部分:dp[i + 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i + 1][j - 1] 表示i位置和j位置棄而不用的情況下,得到的答案數
// 第二部分:dp[i + 1][j - 1]  + 1 表示在情況三下,同時使用str[i]和str[j]位置得到的答案數
dp[i][j] = dp[i + 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i + 1][j - 1] +  dp[i + 1][j - 1]  + 1

動態規劃解法的完整程式碼

    public static int ways2(String s) {
        if (s == null || s.length() == 0) {
            return 0;
        }
        char[] str = s.toCharArray();
        int n = str.length;
        int[][] dp = new int[n][n];
        // 對角線都是1
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i][i] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            dp[i][i + 1] = str[i] == str[i + 1] ? 3 : 2;
        }
        for (int i = n - 3; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 2; j < n; j++) {
                // 減去dp[i+1][j-1]是因為算重複了
                dp[i][j] = dp[i + 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i + 1][j - 1];
                if (str[i] == str[j]) {
                    // dp[i][j]分成兩部分
                    // 其中:
                    // 第一部分:dp[i + 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i + 1][j - 1] 表示i位置和j位置棄而不用的情況下,得到的答案數
                    // 第二部分:dp[i + 1][j - 1]  + 1 表示在情況三下,同時使用str[i]和str[j]位置得到的答案數
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i + 1][j - 1] +  dp[i + 1][j - 1]  + 1;
                }
            }
        }
        return dp[0][n - 1];
    }

類似問題

LeetCode 730. 統計不同迴文子序列

更多

演算法和數據結構筆記