擴展期權定價模型到二元期權定價

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歐式期權定價回顧

我們通過蒙特卡羅模擬為歐式期權定價的模型可以作為定價各種奇異期權的基礎。在我們此前的模擬中，我們定義了一種在到期時分配資產價格的方法，以及一種用該價格評估到期期權價值的方法。

這種模擬方法一般可以被認為是這樣的：

while i < num_iterations:
    S_T = generate_asset_price()
    payoffs += payoff_function(S_T)
    i += 1

option_price = exp(-r*T) * (payoffs / num_iterations)

通過改變我們生成資產價格的方式，以及我們評估期權收益的方式，我們可以為一些奇異期權生成價格。詳細步驟，請參考我們的歷史文章。

二元期權

二元期權（也稱為全有全無，或數字期權）是一種收益為一定數量或根本沒有收益的期權。回報通常是固定數量的現金或資產的價值。

對於我們的模擬，我們將研究現金或無現金二元期權。二元看漲期權和看跌期權的收益如下所示。

二元看漲期權的收益圖告訴我們，如果股票價格大於或等於 40.00 美元（我們的行使價），則期權支付 1.00 美元。我們可以將一個二元看漲期權的收益寫成一個 Python 函數：

def binary_call_payoff(K, S_T):
    if S_T >= K:
        return 1.0
    else:
        return 0.0

模擬計算過程

我們的資產價格仍將遵循幾何布朗運動，因此我們可以使用此前文章中的 generate_asset_price() 函數。該函數實現程式碼如下：

def gbm(S, v, r, T):
    return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * random.gauss(0,1.0))

這就是我們需要為二元現金或非現金看漲期權定價的全部內容了。把上述內容組合起來：

import random
from math import exp, sqrt

def gbm(S, v, r, T):
    return S * exp((r - 0.5 * v**2) * T + v * sqrt(T) * random.gauss(0,1.0))

def binary_call_payoff(K, S_T):
    if S_T >= K:
        return 1.0
    else:
        return 0.0

# parameters
S = 40.0 # asset price
v = 0.2 # vol of 20%
r = 0.01 # rate of 1%
maturity = 0.5
K = 40.0 # ATM strike
simulations = 50000
payoffs = 0.0

# run simultaion
for i in xrange(simulations):
    S_T = gbm(S, v, r, maturity)
    payoffs += binary_call_payoff(K, S_T)

# find prices
option_price = exp(-r * maturity) * (payoffs / float(simulations))

print 'Price: %.8f' % option_price

運行上述程式碼，得到 0.48413327 的價格，約等於 0.484 。

檢驗結果

當然，二元期權也可以使用傳統的 Black Scholes 模型定價，使用以下公式：

$\begin{equation*} C = e^{-rT}N(d_2) \end{equation*}$

其中 N 是累積正態分布函數，d2 由標準 Black Scholes 公式給出。

讓我們通過插入此前模擬中的參數來測試上一步我們所計算的價格是否準確：

>>> from scipy.stats import norm
>>> from math import exp, log, sqrt
>>> S, K, v, r, T = 100.0, 100.0, 0.2, 0.01, 0.5
>>> d2 = (log(S/K) + (r - 0.5 * v**2) * T) / v*sqrt(T)
>>> print exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
0.490489409105

可以看到，Black Scholes 公式給出的價格約為 0.490 。這意味著我們的模擬計算價格，僅與BS公式計算的價格相差 0.006 ，從這個結果可以驗證，我們的計算結果是比較準確的。