魔術里的集合、映射和關係（一）——集合是個啥？
- 2020 年 2 月 17 日
- 筆記
按往年，今年應該春節假期結束，準備返工。不過今年情況特殊，繼續放假，大家在做好個人防護的同時，可以藉助這難得多出來的閑暇，修鍊內功。
為了陪伴大家度過春節，我們開啟了春節檔日更文章系列，從1月24日到昨天1月30日，大年三十到初六，七天共計4篇原創，1篇圖片，2次轉載。體會了一把日更作者的辛苦，著實佩服。不過，到昨天，我的日更挑戰到此也就打算結束了。無論是閱讀量還是關注量，這些文章都創了新高，感謝朋友們的關注，希望給您的閉關春節假期帶來一點消遣。相關回顧請戳：
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從今天開始，繼續我們一周一篇原創數學魔術/數學/魔術循環，中間穿插轉載的更新方式，每周二，五晚上18：08和大家見面，我們不見不散！
好的，正式進入新年第一篇！
以上標題里的這些概念，相信大家都不陌生，自我們第一天學數學以來就三番五次地碰到他們。我們大多是從課本上知道了他們的定義，從習題上知道了他們的使用，然後就再也沒有然後了。
但是，在我參加數學建模活動直至今日進入工作崗位，卻一次次驚喜地發現，這些基本概念從產生到抽象化定義，是那麼的精妙，也是那麼必要。它們絕不是數學家生造出來的概念，而是源於生活，高於生活的人類智慧的總結。
這一篇我們將回顧我們從小學一直到大學本科階段學過的離散數學的核心部分，並試圖弄清這些概念的來龍去脈，雖然掛一漏萬，但也能做到厚書讀薄，理出邏輯發展的主線。
集合是個啥？
課本上寫道，集合是一個不加定義的數學概念，或者只能用自然語言描述為「具有某種特定性質的事物的總體」。這其中有兩個關鍵點：
1. 特定性質：無論這個性質是什麼，多麼不靠譜，總得說出個名字來區分和定義屬於和不屬於某個特定集合；
2. 總體：而非個體，這樣我們描述的時候就自然使用的是這個全體的性質，而不是某一個具體的對象，英語里的集合名詞就取這個意思。
注意，這個總體和個體的區別是很大的，集合不簡單是個體的疊加，它還會產生新的性質。比如：「我們家的狗會叫」和「狗會叫」表達的就是完全不同的意思，後者是集合里的每一個元素的性質而變成了集合的性質，而前者是單一元素性質。而你可以說「人們是團結的」，指的是所有人構成的集合有個屬性叫團結，而「你是團結的」這個說法就不能成立了，團結不能修飾一個元素，只能是集合。
集合來歷猜想
延續很早在《加加減減的奧秘——從數學到魔術的思考（一）》一文中的首長數棗子的故事，當他能區分棗子和其他對象的特徵以後，自然就形成了棗子的集合，以及它打到的一筐棗子的子集，以及加減法只不過是集合上的性質和運算。於是通過一個叫「集合」的概念來區分棗子等一切事物，並歸類在大腦里管理，成了我們認識和理解這個客觀世界第一個基本有力的工具。
我們回顧一下這個過程，首長把一筐棗子放好並識別出這些棗子的特徵以後，那麼由此就可以抽象出世界上所有棗子的特徵：紅的，圓的，帶褶皺的，個頭大約一寸（這裡涉及度量的概念，可能當時的首長還沒有這能力，後面我們專門講講計量的內容）的，這特徵抽取能力可是上帝賦予大腦的了不得的天賦啊！
然後，他的腦子裡就會存儲很多棗子的畫面，以及從中抽象出來的很多特徵，以至下次再碰到任何一個物件，他都能直接通過這些特徵來判斷是否在棗子這個集合中了。至此，這個棗子的概念也就完全形成，它和世界上任何一顆棗子都沒什麼關係了。但是，人類卻構築了一個客觀世界本沒有的主觀概念「棗子」，它是由一系列特徵和融合函數來最終判斷生效的，並且能夠在大多數時候準確判斷是否。
往往，這裡是否準確可能因每個人的體驗和感受而有所不同，所以每個人對同一個語言定義概念所對應的判斷是不同也是很正常的，這也會產生代溝或者地域差異。所以，我們只能以相對穩定的標準去定義事物，並且以某個權威作為正確判斷的唯一標準，並不斷修繕進步才行。但是，人類很多事情又都不必要這麼較真，除了數學，電腦，法律等一些事情除外。而這嚴格和模糊的平衡反倒是人類自己自得其樂，引以為傲的一門藝術了，就像沒人知道唐詩宋詞寫作時候作者到底是怎麼想的，才讓說文解字之功夫如此有藝術感。
集合概念伴隨著的人類抽象能力的提升
回到棗子問題。由此，在酋長有能力判斷什麼是「棗子」以後，我們就可以執行吃，保存，贈予等等相關行為並確保有效。比如吃下去會是甜的而且能補血，送老人他們會喜歡等等。而這些執行層面的知識又可以不斷複合和嵌套，進而變得更加複雜。比如可以由此開始想像和創造，並做實驗來驗證想法，進而發現新的世界，這個由大腦推理想像的世界，比物理世界可是要快千萬倍，而且有時還能比真實更能抓住重點，但有時也會有偏差，這是動物進化過程中的一個偉大里程碑：用大腦神經來模擬物理世界並預測未來。
在原始時代，由於沒有那麼多先人一代代傳下來的累積的知識，很多時候都是摸黑走，像很容易的「棗子」是什麼這類知識應該就是某個祖先自己發現並總結的，甚至都不是很多人討論完成的，因為語言還不發達，人們之間通訊還是很困難的。而且，這個過程更多的是個「聚類」操作，即，首長天然地會去直接發現部下們每天打來的果子里有各種東西，有的圓圓的紅色帶褶皺的放一堆，橙色更大一點很圓的放一堆，長長一根黃色的放一堆，於是就形成了棗子，橙子，香蕉三個集合，取了三個名字。所以，每個人的基因里天然是有用五官感受外界客觀事物並形成主觀感受的能力的，我們通過這些信道這樣來接受資訊，而對這些資訊的處理有的是天然本能的比如，餓了要吃，被打了會疼要逃跑等等，這種趨利避害的基本能力是與生俱來的。而有些則是後天教育和習慣的，比如對苦和甜的喜好，能不能吃辣等等。這些內容不斷地疊加成了我們綜合的能力。
而現在，我們在學校的教育，更多的是去學習分類和回歸，而不是聚類。因為有太多先人留下的知識，我們有生之年只能在這基礎上去修築和進步，而無需再推翻它，直到它真的不能用為止，比如古時候擺個廟求雨就不如現在直接往雲里打幹冰了。但是，並不見得人類大潮推進文明的方向是所謂正確和優越的，說不定在外太空還有一個並行的分支遠遠超過我們的發展水平和形成了更厲害的知識體系。但是，顯然，在有生之年讓自己活得更好也為人類做出貢獻的方法就是在這基礎之上去努力，而不是推翻重來這種無用功，做項目也是一個道理了。
當然，科學是我們主觀認識客觀世界幾乎唯一可靠而無奈的方式，也許，大自然本身就是如此混亂，但也符合某些特殊的生成規律，於是可以在這基礎上去認識世界，分類，度量等等，但是我們不得不承認，我們的觀察真的是有限的，因為有看不到的一面存在，所以，我們構築的知識體系在上帝，哪怕是我們的後代看來，都是那麼的落後，但我們還是可信賴地動態依賴他們，至少，這是最不壞的辦法。在一定範圍內我們不用擔心會錯，至少也比很多人離真理近那麼一點點。
而我們現代人，也要自己根據所長去權衡選擇，是做一個人類智慧的傳承者還是構建者,不然總覺得生命在這方面的意義就缺失了。像老師，政府官員等，天然不需要太多的知識創造，但卻要求把人類這點規矩使用和發揮到極致。要最感同身受地把知識最活靈活現地傳給下一代，要在人與人的權衡中最好的使規則發揮效用。說是穩定，是因為他們確實不需要去承擔創造知識失敗的風險，但是，把有規矩的事情做好做出彩，可一點不比創造知識容易。因為雖然我們自詡為現在是資訊時代，可是我們記錄資訊的方式導致的缺失和謬誤還是使得人類知識的傳承離不開活生生的人，而史書里記載的，圖紙上畫的，影片里錄的，仍然不如那些親歷者的言傳身教來的真實。而如果是構建者，那麼就勢必要承擔很長時間可能都沒有結果甚至窮其一生都要為人類做貢獻的角色，成功只是少數。比如至少要讀到博士，還要有足夠好的機遇。
全劇終：總結
這一講我們通過一個故事和想像，展開講了集合的概念和來歷，以及基本對象集合構建下的世界的數學模型，雖然我們的大腦對世界的認知遠比這複雜，但是這種集合式的劃分思維絕對是基礎的認知方式之一，以此為基礎才能構建更加複雜的世界。
下一講我們說說集合的表示，性質，運算，以及由此形成的除了單對象構成的集合以外的更高級別的集合，看看這個以bool集作為象空間的特殊函數到底還能建模我們哪些更高級的思維。
老規矩，學會數學，看會魔術。用集合為基礎的離散數學概念來描述的魔術有很多很多，作為經典數學工具甚至是很多更具體數學內容通向實際的橋樑。如前面文章《奇偶性與魔術（三）——魔術的藝術魅力》就可以看成是奇偶屬性劃分下的兩個集合以及互相的轉化性質的應用，還有數學魔術里經典的CATO，Gilbreath等原理也可以用集合的語言來描述和理解，再恰當不過了，至少我曾經用上了集合語言來看待他們的時候，突然有過恍然大悟的感覺。那些另有名字的著名原理我們後面再講，先看一個和集合概念有關的小作品，我們後面慢慢分析。
好了，今天數學魔術師的分享就到這裡，希望各位客官喜歡，期待你的轉發和讚賞哦！ 我們是誰：MatheMagician，中文「數學魔術師」，原指用數學設計魔術的魔術師和數學家。既取其用數學來變魔術的本義，也取像魔術一樣玩數學的意思。文章內容涵蓋互聯網，電腦，統計，演算法，NLP等前沿的數學及應用領域；也包括魔術思想，流程鑒賞等魔術內容；以及結合二者的數學魔術分享，還有一些思辨性的談天說地的隨筆。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思維，享受人生樂趣。歡迎掃碼關注和在文末或公眾號留言與我交流！ 掃描二維碼關注更多精彩 我和Double Lift的故事（五）——升華篇 闖紅燈到底該不該罰款？——邏輯推理淺談（二）循環、遞歸與魔術（五）——再談遞歸的魔術邏輯與欣賞Roberto Giobbi的紙牌大學我的親子魔術首秀 點擊閱讀原文，往期精彩不錯過!
