電腦視覺中的濾波

• 2020 年 2 月 16 日
• 筆記

寫在前面

在電腦視覺中，濾波（filtering）是指

Image filtering: compute function of local neighborhood at each position. —— from CAP5415–Fall 2014-Lecture 2 (08/21/2014)–Filtering In the broadest sense of the term "filtering", the value of the filtered image at a given location is a function of the values of the input image in a small neighborhood of the same location. —— from Bilateral Filtering for Gray and Color Images

濾波本質上是一種特殊的函數，其作用在影像的每個位置，通過定義的計算方式得到輸出，輸出的值用於替換影像當前位置（濾波器中心）的值。

令濾波函數為(g(x; w)) ，其中(x)為影像的局部鄰域，(w)為濾波器的權重，濾波器可以分成如下3類，

• 線性濾波器（Linear filter）：線性濾波的輸出為輸入的線性組合，即(g = w cdot x)，線性濾波器最為常見；
• 非線性濾波器（Non-Linear Filter）：不滿足上條性質的為非線性濾波，典型的非線性濾波如最大值/最小值/中值濾波、膨脹/腐蝕等；
• 自適應濾波器（Adaptive filter）：線性濾波中的(w)在滑動過程中固定不變（與影像內容獨立無關），自適應濾波的(w)在滑動過程中會隨著窗口內像素的性質和結構發生變化。直覺上，自適應濾波器在某些複雜情況下可能取得更好的效果，但相對線性濾波器，其計算代價更高也更難優化加速。

從濾波目的或者解決的問題上，也可分成3類：

• 影像處理：並不想從影像中提取資訊，只想將影像轉換成期望的樣子；
• 特徵提取：想從影像中提取到某些資訊，比如梯度、二階導、紋理等；
• 模式檢測：想知道影像局部長什麼樣子，像哪種模式，比如模板匹配、稀疏表示等；

這兩種分類方式並不是割裂的，而是互相交叉的，用於影像處理的濾波器也有線性、非線性、自適應之分。

Padding

濾波操作不可避免的一個問題是邊界如何處理，當濾波器的中心壓在影像邊界處時，濾波器會有一部分落在影像外，但影像外並沒有像素，該如何處理？通常需要對影像進行填充（padding），填充需要解決2個問題，填充的元素取什麼值以及填充多少個元素。

對於延拓元素的取值，通常有4種方式，

• 常數填充（0填充）：填充的元素取相同的常數值
• 周期填充（circular）：認為影像的上下左右被與自身相同的影像包圍著
• 複製填充（replicate）：複製影像邊界的元素
• 對稱填充（symmetric）：填充的元素與影像關於邊界對稱

4種填充方式依次如下圖所示，

對於填充多少個元素，通常有3種方式，令濾波器的大小為$gtimes g $ ，影像大小為(f times f) ，

• full：邊界分別填充(g-1)個元素，濾波結果為((f+g-1)times (f+g-1))，比原圖大
• same：邊界分別填充((g-1)/2)個元素，濾波結果為(ftimes f)，與原圖大小相同
• valid：邊界不填充，濾波結果為((f-g+1)times (f-g+1))，比原圖小

濾波雜談

• 基本假設：局部相關性（遠處無關）、局部相似（edge處不滿足）、雜訊隨機
• 靜止影像的去噪，若能獲得影像序列，可以在時域上濾波（均值、中值等）；單張影像在空域上濾波。
• 椒鹽雜訊用中值濾波。椒鹽雜訊會隨機地將像素置為黑或白，在實踐中，會大幅改變像素值的雜訊一般採用中值濾波都是有效的。
• 非椒鹽雜訊，均值為0的隨機雜訊（高斯雜訊），可通過moving average濾波。
• 與影像內容耦合的雜訊，可能需要依賴先驗知識，採用合適的自適應濾波器，更多內容可以查看參考鏈接。
• 平滑相當於低通、銳化相當於高通、不同平滑半徑的差相當於帶通。
• 濾波的加速可以考慮：濾波器是否行列可分離、快取不必要的重複計算、近似計算、SIMD等。
• 差分運算元對雜訊敏感，所以差分前通常要先平滑。
• 考慮到雜訊，求梯度前通常要先（高斯）平滑再使用差分運算元，sobel運算元可以看成是DoG（Derivative of Gaussian）的近似，可以拆分成平滑和差分，如下所示，所以可以用sobel求梯度。 [ mathbf{G}_{x}=left[begin{array}{l}{1} \ {2} \ {1}end{array}right] *left(left[begin{array}{lll}{+1} & {0} & {-1}end{array}right] * mathbf{A}right) quad text { and } quad mathbf{G}_{y}=left[begin{array}{c}{+1} \ {0} \ {-1}end{array}right] *left(left[begin{array}{lll}{1} & {2} & {1}end{array}right] * mathbf{A}right) ]
• 考慮到雜訊，求二階導前通常也要先（高斯）平滑再使用拉普拉斯運算元，兩者合在一起即LoG（Laplacian of Gaussian），即對高斯求二階導再離散取樣，通常可以用DoG（Difference of Gaussian）即兩個不同size高斯核的差近似，詳見Laplacian/Laplacian of Gaussian，其中Laplacian運算元為 [ nabla^{2} f=frac{partial^{2} f}{partial x^{2}}+frac{partial^{2} f}{partial y^{2}} ]
• 模式檢測需要根據期望探測的模式來定義filter，因為不同場景需要檢測的模式不同，所以filter也多種多樣。反映模式的filter可以根據領域知識來人工定義、可以通過SOM（Self Organizing Map）無監督生成、也可以像CNN那樣通過數據驅動有監督學習得到。比如，模板匹配中的模板為filter，相似度函數為濾波的計算方法；稀疏表示中字典的每一列都是filter，像gabor小波字典，通過相關運算計算與每個filter的相似程度，從而知道每個影像局部「長什麼樣子」。

參考

• CAP5415–Fall 2014-Lecture 2 (08/21/2014)–Filtering
• Computer Vision: Filtering
• Adaptive Filtering (Image Processing)
• Adaptive Image Filters
• Image Kernels