用 Python 手寫十大經典排序演算法

2020 年 2 月 12 日
筆記

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作者：hustcc

來源：https://github.com/hustcc/JS-Sorting-Algorithm

排序演算法是《數據結構與演算法》中最基本的演算法之一。

排序演算法可以分為內部排序和外部排序，內部排序是數據記錄在記憶體中進行排序，而外部排序是因排序的數據很大，一次不能容納全部的排序記錄，在排序過程中需要訪問外存。常見的內部排序演算法有：插入排序、希爾排序、選擇排序、冒泡排序、歸併排序、快速排序、堆排序、基數排序等。用一張圖概括：

關於時間複雜度：

平方階 (O(n2)) 排序各類簡單排序：直接插入、直接選擇和冒泡排序。
線性對數階 (O(nlog2n)) 排序快速排序、堆排序和歸併排序；
O(n1+§)) 排序，§ 是介於 0 和 1 之間的常數。希爾排序
線性階 (O(n)) 排序基數排序，此外還有桶、箱排序。

關於穩定性：

排序後 2 個相等鍵值的順序和排序之前它們的順序相同
穩定的排序演算法：冒泡排序、插入排序、歸併排序和基數排序。
不是穩定的排序演算法：選擇排序、快速排序、希爾排序、堆排序。

名詞解釋：

n：數據規模

k：「桶」的個數

In-place：佔用常數記憶體，不佔用額外記憶體

Out-place：佔用額外記憶體

1、冒泡排序

冒泡排序（Bubble Sort）也是一種簡單直觀的排序演算法。它重複地走訪過要排序的數列，一次比較兩個元素，如果他們的順序錯誤就把他們交換過來。走訪數列的工作是重複地進行直到沒有再需要交換，也就是說該數列已經排序完成。這個演算法的名字由來是因為越小的元素會經由交換慢慢「浮」到數列的頂端。

作為最簡單的排序演算法之一，冒泡排序給我的感覺就像 Abandon 在單詞書里出現的感覺一樣，每次都在第一頁第一位，所以最熟悉。冒泡排序還有一種優化演算法，就是立一個 flag，當在一趟序列遍歷中元素沒有發生交換，則證明該序列已經有序。但這種改進對於提升性能來說並沒有什麼太大作用。

（1）演算法步驟

比較相鄰的元素。如果第一個比第二個大，就交換他們兩個。
對每一對相鄰元素作同樣的工作，從開始第一對到結尾的最後一對。這步做完後，最後的元素會是最大的數。
針對所有的元素重複以上的步驟，除了最後一個。
持續每次對越來越少的元素重複上面的步驟，直到沒有任何一對數字需要比較。

（2）動圖演示

（3）Python 程式碼

def bubbleSort(arr):      for i in range(1, len(arr)):          for j in range(0, len(arr)-i):              if arr[j] > arr[j+1]:                  arr[j], arr[j + 1] = arr[j + 1], arr[j]      return arr

2、選擇排序

選擇排序是一種簡單直觀的排序演算法，無論什麼數據進去都是 O(n²) 的時間複雜度。所以用到它的時候，數據規模越小越好。唯一的好處可能就是不佔用額外的記憶體空間了吧。

（1）演算法步驟

首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置
再從剩餘未排序元素中繼續尋找最小（大）元素，然後放到已排序序列的末尾。
重複第二步，直到所有元素均排序完畢。

（2）動圖演示

（3）Python 程式碼

def selectionSort(arr):      for i in range(len(arr) - 1):          # 記錄最小數的索引          minIndex = i          for j in range(i + 1, len(arr)):              if arr[j] < arr[minIndex]:                  minIndex = j          # i 不是最小數時，將 i 和最小數進行交換          if i != minIndex:              arr[i], arr[minIndex] = arr[minIndex], arr[i]      return arr

3、插入排序

插入排序的程式碼實現雖然沒有冒泡排序和選擇排序那麼簡單粗暴，但它的原理應該是最容易理解的了，因為只要打過撲克牌的人都應該能夠秒懂。插入排序是一種最簡單直觀的排序演算法，它的工作原理是通過構建有序序列，對於未排序數據，在已排序序列中從後向前掃描，找到相應位置並插入。

插入排序和冒泡排序一樣，也有一種優化演算法，叫做拆半插入。

（1）演算法步驟

將第一待排序序列第一個元素看做一個有序序列，把第二個元素到最後一個元素當成是未排序序列。
從頭到尾依次掃描未排序序列，將掃描到的每個元素插入有序序列的適當位置。（如果待插入的元素與有序序列中的某個元素相等，則將待插入元素插入到相等元素的後面。）

（2）動圖演示

（3）Python 程式碼

def insertionSort(arr):      for i in range(len(arr)):          preIndex = i-1          current = arr[i]          while preIndex >= 0 and arr[preIndex] > current:              arr[preIndex+1] = arr[preIndex]              preIndex-=1          arr[preIndex+1] = current      return arr

4、希爾排序

希爾排序，也稱遞減增量排序演算法，是插入排序的一種更高效的改進版本。但希爾排序是非穩定排序演算法。

希爾排序是基於插入排序的以下兩點性質而提出改進方法的：

插入排序在對幾乎已經排好序的數據操作時，效率高，即可以達到線性排序的效率；
但插入排序一般來說是低效的，因為插入排序每次只能將數據移動一位；

希爾排序的基本思想是：先將整個待排序的記錄序列分割成為若干子序列分別進行直接插入排序，待整個序列中的記錄「基本有序」時，再對全體記錄進行依次直接插入排序。

（1）演算法步驟

選擇一個增量序列 t1，t2，……，tk，其中 ti > tj, tk = 1；
按增量序列個數 k，對序列進行 k 趟排序；
每趟排序，根據對應的增量 ti，將待排序列分割成若干長度為 m 的子序列，分別對各子表進行直接插入排序。僅增量因子為 1 時，整個序列作為一個表來處理，表長度即為整個序列的長度。

（）Python 程式碼

def shellSort(arr):      import math      gap=1      while(gap < len(arr)/3):          gap = gap*3+1      while gap > 0:          for i in range(gap,len(arr)):              temp = arr[i]              j = i-gap              while j >=0 and arr[j] > temp:                  arr[j+gap]=arr[j]                  j-=gap              arr[j+gap] = temp          gap = math.floor(gap/3)      return arr  }

5、歸併排序

歸併排序（Merge sort）是建立在歸併操作上的一種有效的排序演算法。該演算法是採用分治法（Divide and Conquer）的一個非常典型的應用。

作為一種典型的分而治之思想的演算法應用，歸併排序的實現由兩種方法：

自上而下的遞歸（所有遞歸的方法都可以用迭代重寫，所以就有了第 2 種方法）；
自下而上的迭代；

和選擇排序一樣，歸併排序的性能不受輸入數據的影響，但表現比選擇排序好的多，因為始終都是 O(nlogn) 的時間複雜度。代價是需要額外的記憶體空間。

（1）演算法步驟

申請空間，使其大小為兩個已經排序序列之和，該空間用來存放合併後的序列；
設定兩個指針，最初位置分別為兩個已經排序序列的起始位置；
比較兩個指針所指向的元素，選擇相對小的元素放入到合併空間，並移動指針到下一位置；
重複步驟 3 直到某一指針達到序列尾；
將另一序列剩下的所有元素直接複製到合併序列尾。

（2）動圖演示

（3）Python 程式碼

def mergeSort(arr):      import math      if(len(arr)<2):          return arr      middle = math.floor(len(arr)/2)      left, right = arr[0:middle], arr[middle:]      return merge(mergeSort(left), mergeSort(right))    def merge(left,right):      result = []      while left and right:          if left[0] <= right[0]:              result.append(left.pop(0));          else:              result.append(right.pop(0));      while left:          result.append(left.pop(0));      while right:          result.append(right.pop(0));      return result

6、快速排序

快速排序是由東尼·霍爾所發展的一種排序演算法。在平均狀況下，排序 n 個項目要 Ο(nlogn) 次比較。在最壞狀況下則需要 Ο(n2) 次比較，但這種狀況並不常見。事實上，快速排序通常明顯比其他 Ο(nlogn) 演算法更快，因為它的內部循環（inner loop）可以在大部分的架構上很有效率地被實現出來。

快速排序使用分治法（Divide and conquer）策略來把一個串列（list）分為兩個子串列（sub-lists）。

快速排序又是一種分而治之思想在排序演算法上的典型應用。本質上來看，快速排序應該算是在冒泡排序基礎上的遞歸分治法。

快速排序的名字起的是簡單粗暴，因為一聽到這個名字你就知道它存在的意義，就是快，而且效率高！它是處理大數據最快的排序演算法之一了。雖然 Worst Case 的時間複雜度達到了 O(n²)，但是人家就是優秀，在大多數情況下都比平均時間複雜度為 O(n logn) 的排序演算法表現要更好，可是這是為什麼呢，我也不知道。好在我的強迫症又犯了，查了 N 多資料終於在《演算法藝術與資訊學競賽》上找到了滿意的答案：

快速排序的最壞運行情況是 O(n²)，比如說順序數列的快排。但它的平攤期望時間是 O(nlogn)，且 O(nlogn) 記號中隱含的常數因子很小，比複雜度穩定等於 O(nlogn) 的歸併排序要小很多。所以，對絕大多數順序性較弱的隨機數列而言，快速排序總是優於歸併排序。

（1）演算法步驟

從數列中挑出一個元素，稱為「基準」（pivot）;
重新排序數列，所有元素比基準值小的擺放在基準前面，所有元素比基準值大的擺在基準的後面（相同的數可以到任一邊）。在這個分區退出之後，該基準就處於數列的中間位置。這個稱為分區（partition）操作；
遞歸地（recursive）把小於基準值元素的子數列和大於基準值元素的子數列排序；

遞歸的最底部情形，是數列的大小是零或一，也就是永遠都已經被排序好了。雖然一直遞歸下去，但是這個演算法總會退出，因為在每次的迭代（iteration）中，它至少會把一個元素擺到它最後的位置去。

（2）動圖演示

（3）Python 程式碼

def quickSort(arr, left=None, right=None):      left = 0 if not isinstance(left,(int, float)) else left      right = len(arr)-1 if not isinstance(right,(int, float)) else right      if left < right:          partitionIndex = partition(arr, left, right)          quickSort(arr, left, partitionIndex-1)          quickSort(arr, partitionIndex+1, right)      return arr    def partition(arr, left, right):      pivot = left      index = pivot+1      i = index      while  i <= right:          if arr[i] < arr[pivot]:              swap(arr, i, index)              index+=1          i+=1      swap(arr,pivot,index-1)      return index-1    def swap(arr, i, j):      arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]

7、堆排序

堆排序（Heapsort）是指利用堆這種數據結構所設計的一種排序演算法。堆積是一個近似完全二叉樹的結構，並同時滿足堆積的性質：即子結點的鍵值或索引總是小於（或者大於）它的父節點。堆排序可以說是一種利用堆的概念來排序的選擇排序。分為兩種方法：

大頂堆：每個節點的值都大於或等於其子節點的值，在堆排序演算法中用於升序排列；
小頂堆：每個節點的值都小於或等於其子節點的值，在堆排序演算法中用於降序排列；

堆排序的平均時間複雜度為 Ο(nlogn)。

（1）演算法步驟

創建一個堆 H[0……n-1]；
把堆首（最大值）和堆尾互換；
把堆的尺寸縮小 1，並調用 shift_down(0)，目的是把新的數組頂端數據調整到相應位置；
重複步驟 2，直到堆的尺寸為 1。

（2）動圖演示

（3）Python 程式碼

def buildMaxHeap(arr):      import math      for i in range(math.floor(len(arr)/2),-1,-1):          heapify(arr,i)    def heapify(arr, i):      left = 2*i+1      right = 2*i+2      largest = i      if left < arrLen and arr[left] > arr[largest]:          largest = left      if right < arrLen and arr[right] > arr[largest]:          largest = right        if largest != i:          swap(arr, i, largest)          heapify(arr, largest)    def swap(arr, i, j):      arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]    def heapSort(arr):      global arrLen      arrLen = len(arr)      buildMaxHeap(arr)      for i in range(len(arr)-1,0,-1):          swap(arr,0,i)          arrLen -=1          heapify(arr, 0)      return arr

8、計數排序

計數排序的核心在於將輸入的數據值轉化為鍵存儲在額外開闢的數組空間中。作為一種線性時間複雜度的排序，計數排序要求輸入的數據必須是有確定範圍的整數。

（1）動圖演示

（2）Python 程式碼

def countingSort(arr, maxValue):      bucketLen = maxValue+1      bucket = [0]*bucketLen      sortedIndex =0      arrLen = len(arr)      for i in range(arrLen):          if not bucket[arr[i]]:              bucket[arr[i]]=0          bucket[arr[i]]+=1      for j in range(bucketLen):          while bucket[j]>0:              arr[sortedIndex] = j              sortedIndex+=1              bucket[j]-=1      return arr

9、桶排序

桶排序是計數排序的升級版。它利用了函數的映射關係，高效與否的關鍵就在於這個映射函數的確定。為了使桶排序更加高效，我們需要做到這兩點：

在額外空間充足的情況下，盡量增大桶的數量
使用的映射函數能夠將輸入的 N 個數據均勻的分配到 K 個桶中

同時，對於桶中元素的排序，選擇何種比較排序演算法對於性能的影響至關重要。

什麼時候最快

當輸入的數據可以均勻的分配到每一個桶中。

什麼時候最慢

當輸入的數據被分配到了同一個桶中。

Python 程式碼

def bucket_sort(s):      """桶排序"""      min_num = min(s)      max_num = max(s)      # 桶的大小      bucket_range = (max_num-min_num) / len(s)      # 桶數組      count_list = [ [] for i in range(len(s) + 1)]      # 向桶數組填數      for i in s:          count_list[int((i-min_num)//bucket_range)].append(i)      s.clear()      # 回填，這裡桶內部排序直接調用了sorted      for i in count_list:          for j in sorted(i):              s.append(j)    if __name__ ==  __main__ :      a = [3.2,6,8,4,2,6,7,3]      bucket_sort(a)      print(a) # [2, 3, 3.2, 4, 6, 6, 7, 8]

10、基數排序

基數排序是一種非比較型整數排序演算法，其原理是將整數按位數切割成不同的數字，然後按每個位數分別比較。由於整數也可以表達字元串（比如名字或日期）和特定格式的浮點數，所以基數排序也不是只能使用於整數。

基數排序 vs 計數排序 vs 桶排序

基數排序有兩種方法：

這三種排序演算法都利用了桶的概念，但對桶的使用方法上有明顯差異：

基數排序：根據鍵值的每位數字來分配桶；
計數排序：每個桶只存儲單一鍵值；
桶排序：每個桶存儲一定範圍的數值；

動圖演示

Python 程式碼

def RadixSort(list):      i = 0                                    #初始為個位排序      n = 1                                     #最小的位數置為1（包含0）      max_num = max(list) #得到帶排序數組中最大數      while max_num > 10**n: #得到最大數是幾位數          n += 1      while i < n:          bucket = {} #用字典構建桶          for x in range(10):              bucket.setdefault(x, []) #將每個桶置空          for x in list: #對每一位進行排序              radix =int((x / (10**i)) % 10) #得到每位的基數              bucket[radix].append(x) #將對應的數組元素加入到相 #應位基數的桶中          j = 0          for k in range(10):              if len(bucket[k]) != 0: #若桶不為空                  for y in bucket[k]: #將該桶中每個元素                      list[j] = y #放回到數組中                      j += 1          i += 1  return  list