算術入門1-實數

2022 年 4 月 12 日
筆記
數學, 算術入門

前言：
廣州疫情最近有點嚴重，回不去學校了。在家連不上系統，於是梳理一下學過的數學內容。大概有20章，盡量做到每天更新。

格式約定：

這是正文。

這是引用，導言或注釋

斜體只是調侃，沒有實際意義

數

從遠古時代人們就發明了「數」的概念，主要用於計數。

什麼是「數」？為什麼 \(1+1=2\)？這是如何定義出來的？

簡單來說，數是一種算術對象。確定的運算的對象構成的集合稱為數集，數集中的元素稱為數(numbers)。

我們可以用字母來表示一個數（已知的或未知的、變數或常量），例如

\[a,b,x,y,z
\]

都可以是數。

加法

加法是定義的產物。一加一之所以等於二，不是因為一個蘋果和一個蘋果得到兩個蘋果，而是因為定義如此。

數學就像一種宗教，而非科學。你輸入兩個數，把它們相加，然後你就得到了一個全新的數，這就像魔法——你要麼全信，要麼全不信。

加法是一種二元運算(binary operator)，也就是說加法運算接受兩個數作為輸入(input)，得到一個數作為輸出(outout)。書寫上，我們在輸入的兩個數之間用加號(plus notation)連接。因此抽象的加法就是

\[a+b=c
\]

加法單位元

\(0\) 是如何定義的？

進行加法運算時，我們注意到有一類數 \(x\)，使得

\[a+x=a
\]

即（通俗的說）這個數加別的數等於那個數。我們把這樣的 \(x\) 稱為加法單位元，記作 \(0\)。

由此我們定義了 \(0\)，數軸的原點被確定了。

搞這麼複雜，你是法國小學生嗎？學這些對搬磚有什麼價值？

乘法

乘法擁有巧妙的組合意義，比如 \(3\) 乘 \(5\) 是 \(5\) 個 \(3\) 相加。這也是我們小學定義乘法的唯一目的。

但組合意義是乘法的本質嗎？如果不是，又該如何定義乘法？

乘法是一種二元運算，接受兩個數作為輸入，得到一個數作為輸出。書寫上，我們在輸入的兩個數之間用空格（空格在不產生歧義的情況下可以省略）連接。因此抽象的乘法就是

\[ab=c
\]

使用何種乘號？

一般而言，乘法的書寫有三種：\(a\times b\)，\(a\cdot b\) 和 \(ab\)。

在表達兩個數（標量）相乘時，我建議使用第三種，因為叉乘記號(cross product notation，\(\times\))和點乘記號(dot probduct notation，\(\cdot\))，在向量運算時已經有明確的（不同的）含義了。

因此以後我們統一使用空格作為標量乘法的記號，例如三乘以五記作 \(3\ 5=15\)，手寫時可以使用 \(3(5)=15\)。

乘法單位元

什麼是 \(1\)？什麼是 \(2\)？自然數是如何被定義的？

進行乘法運算時，我們注意到有一類數 \(x\)，使得

\[ax=a
\]

即（通俗的說）這個數乘別的數等於那個數。我們把這樣的 \(x\) 稱為乘法單位元，記作 \(1\)。

由此我們定義了 \(1\)，數軸的原點被確定了。

所以搞了半天你連 \(1,2,3,\cdots\) 這些最基本的算術單元都沒有說嗎？

自然數

我們費盡心機終於定義了兩個數（\(0,1\)），可是還有無窮無盡的數沒有定義呢！

自然數集（記作 \(\mathbb{N}\)）是由皮諾亞公理定義的集合，這一般是算術學家（你說的這個算術學家，是指小學生嗎？）接觸的第一個數集。

皮諾亞公理（簡化版）

\(0\) 是一個自然數。
如果 \(a\) 是一個自然數，則 \(a+1\) 也是一個自然數，稱之為 \(a\) 的後繼數。即 \(\forall_{a\in \mathbb{N}}a+1\in\mathbb{N}\)
\(0\) 不是任何數的後繼數。即 \(\forall _{a\in \mathbb{N}} a+1\not=0\)
不同的自然數有不同的後繼數。即 \(\forall _{a\in \mathbb{N}} a+1\not=a\)
自然數集只包括上述四條所述的數。形式化的說，設 \(S\) 是 \(\mathbb{N}\) 的子集，滿足上述四條的性質（將自然數替換為 \(S\) 中的元素），則 \(S=\mathbb{N}\)。

記號 \(\forall\)

\(\forall\) 形象是一個倒過來的 A，取自英文單詞 any，表示對於任意一個。例如

\[\forall_{a\le10}a\le5
\]

表示對於每個小於等於 \(10\) 的數 \(a\)，都有 \(a\) 小於等於 \(5\)。

\(\forall\) 的 \(\LaTeX\) 程式碼為 \forall

值得一提的是，我們給每個自然數設計有記號，\(2=1+1,3=2+1,4=3+1,\cdots\)。

戴德金-皮亞諾結構

一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組(X, x, f)：

\(X\) 是一集合，\(x\) 為 \(X\) 中一元素，\(f\) 是 \(X\) 到自身的映射；

\(x\) 不在 \(f\) 的像集內；

\(f\) 為一單射。

若 \(A\) 為 \(X\) 的子集並滿足 \(x\) 屬於 \(A\)，且若 \(a\) 屬於 \(A\)，則 \(f(a)\) 亦屬於 \(A\)，則 \(A=X\)。

加法結合律

小學時好像是先學交換律才學結合律的呀？但是交換律的證明需要先證明結合律……

定理1.1 自然數加法滿足結合律，即 \(\forall_{a,b,c\in\mathbb{N}}(a+b)+c=a+(b+c)\)

證明:

當 \(a=0\) 時，\((0+b)+c=b+c=0+(b+c)\)
假如 \(a=k\) 時原定理成立，則對於 \(a=k+1\)，有

\[\begin{align}a+b+c&=(k+1+b)+c\notag\\ &=((k+b)+1)+c \notag\\ &=((k+b)+c)+1 \notag\\&=(k+(b+c))+1\notag\\&=k+1+(b+c)\notag\\&=a+(b+c)\notag\end{align}
\]

當 \(x=k+1\) 時原定理成立。

由上述兩條可推理出，原定理恆成立。\(\qquad\qquad\blacksquare\)

加法交換律

定理1.2 自然數加法滿足交換律，即 \(\forall_{a,b\in\mathbb{N}}a+b=b+a\)

在證明之前，我們需要先證明兩個引理：

引理1.3 \(\forall_{x\in\mathbb{N}}0+x=x\)

證明：

當 \(x=0\) 時，\(0+x=0+0=0\)
假如當 \(x=k\) 時原引理成立，則當 \(x=k+1\) 時，\(0+x=0+k+1=(0+k)+1=k+1=x\)，即當 \(x=k+1\) 時原引理成立。

由上述兩條可推理出，原引理恆成立。\(\qquad\qquad\blacksquare\)

引理1.4 \(\forall_{x\in\mathbb{N}}1+x=x+1\)

證明：

當 \(x=0\) 時，\(1+0=1=0+1\)
假如當 \(x=k\) 時原引理成立，則當 \(x=k+1\) 時，\(1+k+1=(1+k)+1=(k+1)+1\)，即當 \(x=k+1\) 時原引理成立。

由上述兩條可推理出，原引理恆成立。\(\qquad\qquad\blacksquare\)

證明定理1.2：

當 \(a=0\) 時，\(0+b=b=b+0\)
假如當 \(a=k\) 時原引理成立，則當 \(a=k+1\) 時，\(a+b=k+1+b=k+b+1=b+k+1\)，即當 \(x=k+1\) 時原引理成立。

由上述兩條可推理出，原定理恆成立。\(\qquad\qquad\blacksquare\)

通項歸納法

讓我們想想多米諾骨牌排成一行，那麼我們只要把任意一張排推到，那麼在這張牌之後的每一張派都會被因連鎖反應而被前一張牌推到。即使在此之後的有無窮張多米諾骨牌，它們也終會全部倒下。這使我們戰勝了無限。

這種方法在數學上被稱為通項歸納法(mathematical induction)，上面的幾個證明都使用了這個方法。

讓我們再舉一個例子，令

\[S_n=0^2+1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2
\]

求證：

\[S_n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)
\]

證明：

第一步：

\[S_0 = 0^2 = 0 = \frac{0 (0 + 1) (2\ 0 + 1)}{6}
\]

即，當 \(n = 0\) 時，等式成立。

第二步：我們現在假設當 \(n = k\) 的時候原等式成立。
即現在證明當 \(n = k + 1\) 時成立。具體而言，是這樣做的：

\[\begin{aligned}S_{k + 1} &= S_k + (k + 1)^2\\&= \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k^2 + 2k + 1)\\&= \frac{2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6}\\&= \frac{(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)}{6}\end{aligned}
\]

由此得證，若 \(n = k\) 時等式成立，則當 \(n = k + 1\) 時等式成立。
而當 \(n = 0\) 時等式成立，則對於 \(\forall_{n \geq 0}\)，原等式成立。\(\qquad\qquad\blacksquare\)

這裡的「第一張多米諾骨牌」正是”\(n = 0\) 時成立”，而第二步的證明中則把「牌」排了起來。於是無限的「牌」全部倒了。通項歸納法可以說是數學證明中的「萬金油」。

整數

自然數集是不完整的，在群論中被稱為「半群」，而整數集則是完整的。

加法逆元

減法來自何方？

進行加法運算時，我們關於數 \(a\) 定義一個數 \(x\)，使得

\[a+x=0
\]

則稱 \(x\) 為 \(a\) 的加法逆元，記作 \(-a\)。由此我們得到

\[a+(-a)=0
\]

根據加法單位元的性質，加上一個數的加法逆元，相當於消除了加這個數的影響。

例1.5 已知 \(2+x=6\)，求 \(x\)。

解：
\(\because 2\) 的加法單位元為 \(-2\)

\(\therefore x=6+(-2)\)\(\qquad\qquad \texttt{w5}\)

\(\texttt{w5}\) 和 \(\blacksquare\) 記號

\(\texttt{w5}\) 是 which was what we wanted 的縮寫，表示回答完畢，解答過程的結束。

\(\blacksquare\) 表示證畢，只用於證明過程的結束。表示證畢的常用記號還有 \(\texttt{Q.E.D}\)。

由此，代數的說，若 \(a+x=b\)，則 \(x=b+(-a)\)。

減法

減法，只是加上加法逆元的簡寫。

由於 \(a+(-b)\) 很常用，而且書寫稱呼都不方便，我們設計一種新的二元運算，稱為減法，作為加加法逆元的簡稱，即

\[a-b=a+(-b)
\]

負數

\(3\) 的加法逆元是多少，是自然數集的元素嗎？

整數集（記作 \(\mathbb{Z}\)）是自然數集的拓展，引入了負數的概念。簡而言之：

如果 \(n\) 是自然數，則 \(n\) 是整數。
如果 \(n\) 是自然數，則 \(-n\) 是整數。
整數集只包括上述滿足兩條性質的數。

即 \(\forall_{x\in\mathbb{N}}x,-x\in\mathbb{Z}\) 且 \(\forall_{x\in\mathbb{Z}}x\in \mathbb{N} \lor -x\in\mathbb{N}\)。

邏輯記號：\(\lnot\lor\land\)

\(\lnot\) 表示邏輯非，即 \(\lnot a\) 為真當且僅當 \(a\) 為假。

\(\lor\) 表示邏輯或，即 \(a\lor b\) 為真當且僅當 \(a\) 為真或 \(b\) 為真。

\(\lor\) 表示邏輯且，即 \(a\land b\) 為假當且僅當 \(a\) 為假或 \(b\) 為假。

比起自然數集，整數集多了負數(negative number)，這使得整數集比自然數集更加完整：整數集中的每個數的加法逆元都能在整數集中找到，而只有 \(0\) 能在自然數集中找到加法逆元。

在整數集上，加法結合律和加法交換律任然成立（讀者自證不難）。

有理數

在乘法意義下，整數集完整嗎？

乘法逆元

怎麼把 \(7\) 顆糖分給 \(3\) 個小朋友？

進行乘法運算時，我們關於數 \(a\) 定義一個數 \(x\)，使得

\[a+x=1
\]

則稱 \(x\) 為 \(a\) 的乘法逆元（在不產生歧義的前提下可以簡稱為逆元），暫時記作 \(\frac{1}{a}\)。由此我們得到

\[a\frac{1}{a}=1
\]

根據乘法單位元的性質，乘以一個數的乘法逆元，相當於消除乘以這個數的影響。

除法

你喜歡 \(a/b\)，\(a\div b\)，\(a:b\)，還是 \(\frac{a}{b}\)？

我喜歡第一個，因為它使用的 \(LaTeX\) 記號最少，寫起來最快。

既然減號是加號的一部分，除號也應該是乘號的一部分，不是嗎？

由於 \(a\frac{1}{b}\) 很常用，而且書寫稱呼都不方便，我們設計一種新的二元運算，稱為除法，作為乘乘法逆元的簡稱，即

\[\frac{a}{b}=a\frac{1}{b}
\]

分數

\(3\) 的乘法逆元是多少？它是整數集的元素嗎？

有理數集（記作 \(\mathbb{Q}\)）是整數集的拓展，對於任意兩個整數 \(a,b\)，滿足\(\frac{a}{b}\) 是有理數。即 \(\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}|a,b\in\mathbb{Z}\}\)。

運算性質

在有理數域上，加法結合律和加法交換律任然成立（讀者自證不難）。
並且，

定理1.6 有理數乘法滿足結合律。即 \(\forall_{a,b,c\in\mathbb{Q}}(ab)c=a(bc)\)

定理1.7 有理數乘法滿足交換律。即 \(\forall_{a,b\in\mathbb{Q}}ab=ba\)

定理1.8 有理數加法和乘法滿足分配律。即 \(\forall_{a,b,c\in\mathbb{Q}}a(b+c)=ab+ac\)

以上三條定理讀者自證（好像有點難？），或視為加法和乘法定義的一部分即可。

根據分配率，我們注意到負數乘以負數得到一個正數。

數軸

數有怎樣的幾何直觀體現？

畫一條直線，在直線上選兩個點，分別為 \(0\) 和 \(1\)，並根據 \(0,1\)之間的位置關係標記出正方向，這就叫做數軸(number axis)。

真·通俗版定義

下面是一個數軸的例子：

加法變換

加法有怎樣的幾何（數軸）直觀體現？

加法就是橫向平移數軸，例如 \(+3\) 就是將數軸左移 \(3\) 個單位。

畫圖畫的？有點沒對齊！

乘法變換

乘法有怎樣的幾何（數軸）直觀體現？

乘法就是縮放數軸，例如 \(\times 3\) 就是將數軸縮小 \(3\) 倍。

根據分配率，乘負數就是縮放並翻轉數軸方向。

乘方

連加得乘，連乘得……

求 \(n\) 個 \(a\) 乘積的運算，叫做乘方(power)，記作 \(a^n\)。特別的，定義 \(a^0=1\)。例如，\(3^4=81\)。

容易注意到，乘方並沒有交換律（\(3^4=81,4^3=64\)）。但是乘方擁有幾條重要性質（不妨稱為乘方的基本性質）：

\(\forall_{a,n,m}a^na^m=a^{n+m}\)
\(\forall_{a,n,m}\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\)
\(\forall_{a,n,m}(a^n)^m=a^{nm}\)

非自然數乘方

上一節的定義並不完整（要求 \(n\) 為自然數），我們拓展這個定義。使得新定義滿足兩條乘方的基本性質。

例如我們要計算 \(4^{\frac{3}{2}}\)，由性質 1 得到

\[4^{\frac{3}{2}}=4^14^{\frac{1}{2}}=4\ 4^{\frac{1}{2}}
\]

那麼 \(4^{\frac{1}{2}}\) 等於多少呢？不妨設 \(x=4^\frac{1}{2}\)，由性質 3 知道，

\[x^2=(4^\frac{1}{2})^2=4
\]

所以我們是想要知道，什麼數 \(x\) 滿足 \(x^2=4\)，容易注意到 \(2\) 和 \(-2\) 都符合條件。我們定義當有兩個數滿足條件時，計算平方總是使用較大的那一個，即

\[4^\frac{1}{2}=2
\]

所以 \(4^{\frac{3}{2}}=4\ 4^{\frac{1}{2}}=4\ 2=8\)

關於負數的乘方則可以這樣運算：

\[\begin{align}a^{-b}&=a^{0-b}\notag\\&=\frac{a^0}{a^b}\notag\\&=\frac{1}{a^b}\notag\end{align}
\]

由此之後，我們把 \(a\) 的乘法逆元記為 \(a^{-1}\)，這樣的記號清晰且節省空間。

算術開根

\(a^{\frac{1}{2}}=?\)

由於 \(a^\frac{1}{b}\) 很常用，而且書寫稱呼都不方便，我們設計一種新的運算，稱為算術開根，作為乘方乘法逆元的簡稱，即

\[^b\sqrt{a}=a^\frac{1}{b}
\]

算術開根 \(^b\sqrt{a}\)的意義就是求一個數 \(x\) 滿足 \(x^b=a\)。當 \(b=2\) 時，可以省略 \(b\)，即 \(\sqrt{a}=^2\sqrt{a}\)。特別的，此時的運算叫做算術平方根(squre root)。

對數運算

\(10000\) 乘 \(10000000\) 等於多少？你會列豎式計算嗎？

不，前者有 \(4\) 個 \(0\)，後者有 \(7\) 個 \(0\)，所以結果有 \(4+7=12\) 個 \(0\)，即 \(1000000000000\)。

為什麼能這樣計算？

對數運算是乘方運算的一種逆運算，具體而言就是求解一個數 \(x\) 滿足

\[a^x=b
\]

記

\[x=\log_ab
\]

其中 \(\log\) 就是對數記號。

當 \(a=2\) 時，\(a\) 可以省略，即 \(\log b=\log_2 b\)。
我們稱 \(a=10\) 的對數叫做常用對數(common logarithm)，並記為 \(\lg b\)

對數擁有一些基本的性質：

定理1.9 \(\forall_{a,b,c}\log_abc=\log_ab+\log_ac\)。

證明：
\(a^{\log_abc}=bc=a^{\log_ab}a^{\log_ac} \qquad\qquad\blacksquare\)

推論1.10 \(\forall_{a,b,c}\log_ab^n=n\log_ab\)。（讀者自證不難）

推論1.11 \(\forall_{a,b,c}\log_{a^n}b=\frac{1}{n}\log_ab\)。（讀者自證不難）

定理1.12 （換底公式）\(\forall_{a,b,c}\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\)。

證明：

令 \(x=\log_ab\)，則 \(a^x=b\)，注意到

\[c^{x\log_ca}=(c^{\log_ca})^x=a^x=b
\]

兩邊取對數得

\[x\log_ca=\log_cb
\]

代入 \(x\) 並移項得

\[\log_ab\log_ab=\log_cb
\]

即 \(\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca} \qquad\qquad\blacksquare\)

無理數

問題還是出在乘法上……

什麼數乘以它自己等於 \(2\)？或者說，\(\sqrt{2}=?\)，答案是有理數集的元素嗎？

我們知道，有理數總是有限小數或無限循環小數。

無理數(irrational number)則是無限不循環小數，一般包括代數數(algebraic number)和超越數(transcendental number)，我們將在之後（第四章）繼續討論這兩種數的區別。

連分式

我們注意到，一些乘方算式的結果，不總是有理數，或者說，不總能用一個分數表示。

考慮把任意有理數寫成連續的分數嵌套形式，使得分子始終是 \(1\)。例如

\[\frac{7}{5}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}
\]

\[\frac{19}{8}=2+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}}
\]

稱為連分式。

任何有理數都可以寫成有限項的連分式，但是無理數不能，例如

\[\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}}
\]

實數

作為一個總稱，它完整了嗎？

有理數和無理數，總稱為實數(real number)（記作 \(\mathbb{R}\)）。

實數運算律

上文提及的加法結合律、加法交換律、乘法結合律、乘法交換律、加法乘法分配率、乘方基本性質、對數基本性質在實數集上均成立。

實數集的完整性

封閉性：
實數集對加、減、乘、除（除數不為零）四則運算具有封閉性，即任意兩個實數的和、差、積、商（除數不為零）仍然是實數。

有序性：
實數集是有序的，即任意兩個實數 \(a,b\) 必定滿足並且只滿足下列三個關係之一： \(a<b,a=n,a>b\)。（我們將在以後詳細討論數學關係）

阿基米德性質：實數具有阿基米德性質(Archimedean property)，即 \(\forall_{a,b\in\mathbb{R},a>0}\exists_{n\in\mathbb{N}}an>b\)

記號 \(\exists\)

\(\exists\) 形象是一個倒過來的 E，取自英文單詞 exists，表示至少存在一個。例如

\[\exists_{a\le10}a>0
\]

表示至少存在一個小於等於 \(10\) 的數 \(a\)，滿足 \(a\) 大於 \(0\)。

稠密性：實數集具有稠密性，即兩個不相等的實數之間必有另一個實數，既可以是有理數，也可以是無理數。

習題

在課本上，加法逆元和乘法逆元的名稱叫什麼？
\(0\) 可以有乘法逆元嗎？有人認為可以定義 \(0\) 的乘法逆元為 \(\infty\)，即定義 \(\frac{1}{0}=\infty\)，這樣可行嗎？
整數集比自然數集大嗎？有理數集比整數集大嗎？實數集比有理數集大嗎？
如何使 \(0^0\) 有意義？
在所有無理數中，最無理的數(the most irrational number)是什麼？（你需要自己定義什麼叫更無理）
實數集完整了嗎？
一個實數總可以被表示成根式（嵌套）的形式嗎？
一個實數總可以被表示成一個係數都是整數的多項式的根的形式嗎？

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