1 線性方程組的解法

• 2022 年 3 月 22 日
• 筆記
• 高等代數

1 線性方程組的解法

1.1 解線性方程組的矩陣消元法

1、線性方程組：左端為未知量x的一次齊次式，右端是常數。關鍵詞：係數、常數項、n元線性方程組、解集

2、線性方程組的初等變換：1）把一個方程的倍數加到另一個方程上；2）互換兩個方程位置；3）用一個非零數乘其中一個方程

3、關鍵詞：階梯型方程組、簡化階梯型方程組、增廣矩陣、係數矩陣、零矩陣、方陣、m級矩陣（方陣）、矩陣的初等變換

4、階梯型矩陣：1）零行在下方（如果有零行的話）；2）非零行從左邊起第一個不為0的元素（稱為主元），它們的列指標隨行指標的遞增而嚴格增大。

5、簡化行階梯形矩陣：1）是階梯型矩陣；2）非零行的主元為1；3）主元所在列的其餘元素為0。

6、定理1：任意一個矩陣都可以經過一系類初等行變換化成階梯形矩陣。
證明：

7、推論1：任意一個矩陣都可以經過一系類初等行變換化成簡化階梯形矩

8、線性方程組的一般解：以主元為係數的未知量稱為主變數，其餘未知量為自由未知量，一般解就是用含自由未知量的式子表示主變數。

1.2線性方程組的解的情況及其判別準則

1、定理1：係數為有理數（或實數、複數）的你元線性方程組的解的情況只有三種可能：1）無解、2）有唯一解、3）有無窮多個解。

高斯-約當演算法：

如果一個線性方程組有解，那麼稱它是相容的；否則，稱它是不相容的。關鍵詞：齊次線性方程組、零解、非零解

2、推論1：n元齊次線性方程組有非零解的充分必要是：它的係數矩陣經過初等行變換化成的階梯形矩陣中，非零行的數目r<n。

3、推論2：n元齊次線性方程組如果方程的數目s小於未知量的數目n，那麼它一定有非零解。

1.3 數域

1、定義：複數集的一個子集K如果滿足：
（1） 0，1∈K；
（2） a，b∈K→a±b，ab∈K，
a，b∈K，且b≠0→a/b∈K
那麼，稱K是一個數域。

2、有理數集Q，實數集R，複數集C都是數域；但整數集Z不是數域，因為Z對於除法不封閉。任何數域都含有有理數域，有理數域是最小的數域，複數域是最大的數域。

3、命題1：任一數域都包含有理數域。