一次家庭作業意外搞定40年前的數學猜想 只研究了幾個禮拜
只是完成一次普通家庭作業，就把困擾了數學家們幾十年的猜想搞出了新花樣？！
沒錯，這是來自牛津大學的Thomas Bloom的親身經歷。
在一次閱讀小組的論文分享上，他被要求解讀一篇2003年發表在《數學年刊》上的經典論文。
這篇論文證明了一個與「最古老數學問題」埃及分數有關的猜想。
簡單來說，猜想認為：將大於1的整數任意分成有限個子集，必然有一個子集中的部分整數倒數加起來為1，例如只要有一個子集中有2、3、6，就有1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。
這一猜想被命名為Erd?s-Graham猜想。
然而，這版2003年的證明還有很多待解決的疑惑：
Thomas Bloom在解讀論文的過程中，也發現這版證明對子集的要求有點高，很多特殊情況下沒辦法成立。
再仔細一看，他突然發現，這版證明還存在著可以繼續改善的地方！
於是借著這次交作業的機會，Thomas Bloom在這篇論文的基礎上提出了一種「強化版」證明思路，整個過程甚至只用了幾周時間。
就連數論領域著名學者、蒙特利爾大學教授Andrew Granvill都感嘆這種做法的不可思議：此前我只是覺得，這是一個不可能被解決的問題，任何頭腦正常的人都沒法做到。
所以，這一猜想究竟是什麼，Bloom的證明方法又究竟「不可思議」在哪裡？
一個與「最古老數學問題」有關的猜想
在數學裡，任意有理數都可以表示成分數，且分子分母都是整數。
但是在3000多年前的古埃及，他們的分數只有分子為1一種情況，我們現在叫它單位分數。
也就是說，他們的字典里沒有「3/4」這類東西，因為3/4也需要被寫成1/4+1/2。
古埃及的文字里，一隻眼睛下面放一個數字就代表了一個單位分數。
從1到100萬都有相應的圖形。
雖然它和我們現在的數學相去甚遠，但其實所有分數都可以寫成單位分數之和的形式。
因此這種表示方法被稱作古埃及分數。
顯然，1也可以寫成古埃及分數：1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。
這個看似簡單的問題經久不衰，1970年代，著名數學家Paul Erd?s和Ronald Graham提出了一個關於古埃及分數的猜想：把正整數劃分成若干個子集，那麼必然有一個子集中存在一組數，可以把1表示成古埃及分數形式。
△從左至右依次為Paul Erd?s和Ronald Graham夫婦
（註：Ronald Graham中文名「葛立恆」，就是提出葛立恆數的那位數學家。）
比如上面的1 = 1/2 + 1/3 + 1/6，某個子集中包含這2、3、6這三個數，就可以做到。
那麼如果很不巧，2、3、6被分配到不同的子集中，還可以把1拆成古埃及分數形式嗎？
其實也是可以的，包含{2、3、12、18、36}一組整數也行：
表示1的方法千千萬，總有符合條件一組數滿足條件。
達特茅斯學院的數論學者Carl Pomerance對此評價道：「這可能是有史以來最古老的問題。」
沒想到的是，這個最古老的問題最近又發出新芽。
來自牛津大學的數學家Thomas Bloom最近不但提出了比Erd?s更厲害的「強化版」，還親自證明了它。
幾周就證明了一個「加強版」
那篇近20年前的論文，由一位名叫Ernie Croot的數學家撰寫，2003年發表在數學領域頂級期刊《數學年刊》上。
他解決Erd?s-Graham問題的「基礎版本」。
把所有整數隨機分配到不同的桶里，至少有一個桶必須包含一組整數，其倒數和等於1。
Bloom仔細閱讀後發現，Croot的方法實際上比最初看起來更強大：「所以我研究了幾周，這個更強大的結果就出來了。」
Bloom給出的結論是，並不需要把整數分成若干個有限集合，只要集合滿足「正密度」的條件，那麼這個集合就存在一組整數倒數和為1。
所謂「正密度」是指某一組整數在全體正整數里所佔的比例，比如偶數的密度是0.5。
假如有一組整數集合記作A，在前n項中不大於n的項記作α，當n趨於無窮大時，α/n極限就是叫做A的自然密度。
而Bloom提出而條件是密度大於零即可，無論這個密度多低（10%、1%、0.0001%甚至更低），這顯然比把整數分成有限份的條件更加苛刻。
嗯，充分說明哪怕是「讀論文」這種科研作業，也要認真一點，說不定讀著讀著靈感就來了（手動狗頭）
作者介紹
Thomas Bloom，目前在牛津大學進行數學方面的研究工作，獲得過英國皇家學會大學研究金，後者專門用於給各領域傑出年輕科學家提供科研資金。
Bloom曾於布里斯託大學獲得博士學位，並在劍橋大學進行過博士後相關工作，本科畢業於牛津大學數學與哲學專業。
在進行這項研究之前，他也曾經和獲得過「數論界最高獎」柯爾獎的牛津大學教授James Maynard合作，完成過一篇關於無方差集的論文。
One More Thing
對於任意有理數，我們都可以用簡單的演算法找到古埃及分數表示。
最常用的便是貪心演算法。
以7/15為例，我們先找到最接近它的單位分數1/3，得到：
7/15 = 1/3 + 2/15
接著尋找最接近剩餘項2/15的單位分數，即1/8。依次類推，直到剩餘項也是單位分數為止。
7/15 = 1/3 + 1/8 + 1/120
怎麼尋找最接近的單位分數呢？將分母除以分子並向上取整即可。
以下是Python版的程式碼：
你能寫出其他語言的版本，或是寫出其他古埃及分數演算法的程式碼嗎？
參考鏈接：
[1]//www.quantamagazine.org/maths-oldest-problem-ever-gets-a-new-answer-20220309/
[2]//twitter.com/thomasfbloom
[3]//www.youtube.com/watch?v=yBtluQoghXA
[4]//www.geeksforgeeks.org/greedy-algorithm-egyptian-fraction/
[5]//en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Graham_problem
[6]//thomasbloom.org/aboutme.html
[7]//annals.math.princeton.edu/2003/157-2/p04
