數字頻率、模擬頻率之間關係的推導
- 2022 年 3 月 2 日
- 筆記
傅里葉變換為：
\]
\]
但是傅里葉變換存在的充分條件是在無限區間內滿足絕對可積：
\]
該條件限制了某些增長訊號如\(e^{at},a>0\)傅里葉變換的存在，對於周期訊號、階躍訊號雖然沒有受到這方面限制，但其變換式中出現衝激函數\(\delta(\Omega)\)。為了使更多的函數存在變換，並簡化某些變換形式或運算過程，引入一個衰減因子\(e^{-\sigma t}\)（\(\sigma\)為任意實數）使它與\(x(t)\)相乘，於是\(e^{-\sigma t}x(t)\)得以收斂，絕對可積條件就容易滿足。此時\(e^{-\sigma t}x(t)\)的傅里葉變換為：
\]
將上式中的\(\sigma+j\Omega\)用符號\(s\)代替：
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於是可以得到：
\]
再利用傅里葉逆變換，尋找由\(X(s)\)求\(x(t)\)的一般表示式：
x(t)e^{-\sigma t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X_{1}(\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega \\
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X_{1}(\Omega)e^{(\sigma+j\Omega)t}d\Omega \\
\end{aligned}\]
將\(s=\sigma+j\Omega,ds=jd\Omega\)帶入上式，並改變積分上下限，可以得到：
\]
至此，得到了拉普拉斯的正反變換分別為\((4),(5)\)。
上述兩個變換都是對連續函數進行分析，但是數字訊號處理處理的都是時間上離散的序列\(x(n)\)，上面兩個變換怎麼映射到序列上去呢？
首先需要對連續訊號進行抽樣，進而得到離散序列\(x(n)\)，假設抽樣間隔為\(T_{s}\)那麼由連續訊號到離散訊號的過程為：
\]
上式中\(x_{s}(t)\)是\(x(t)\)在離散時刻\(mT_{s}\)的樣點值的集合。
考慮\(x_{s}(t)\)的拉普拉斯變換：
X_{s}(s)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x_{s}(t)e^{-st}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}[\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_{s})\delta(t-nT_{s})(t)]e^{-st}dt \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_{s})\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_{s})e^{-st}dt \\
&= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_{s})e^{-snT_{s}}=X(e^{sT_{s}})
\end{aligned}\]
如果令
\]
並將\(x(nT_{s})\)簡記為一般的離散序列\(x(n)\)，可以得到：
\]
這樣拉普拉斯變換就變成了\(z\)變換。
我們知道傅里葉變換中的\(X(\Omega)\)反應的是訊號的頻譜(包括相頻、幅頻特性)，這時對應的拉普拉斯變換中的\(\sigma=0\)。而如果想要得到離散序列的頻譜，相應的\(z\)變換中的\(z=e^{sT_{s}}=e^{\sigma+j\Omega}\)中的\(\sigma\)也要等於0。此時\(z\)變換變為：
\]
令
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可以得到
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這就是離散序列的傅里葉變換(DTFT)了。
\((8)\)中的\(\omega\)定義為「數字頻率」，而\(\Omega\)正是模擬角頻率，由此可以得出，數字角頻率，模擬角頻率，以及模擬頻率與取樣頻率的關係如下：
\]
到了這裡可以發現時域上數值已經離散，但是頻域上還沒有變成離散的，這不適合電腦處理，於是還需要將頻譜也變成離散的，該如何變呢？（下次接著說）
