數學——Euler方法求解微分方程詳解
- 2020 年 1 月 23 日
- 筆記
演算法的數學描述圖解
實例
用Euler演算法求解初值問題 [ frac{dy}{dx}=y+frac{2x}{y^2}] 初始條件(y(0)=1)，自變數的取值範圍(x in [0, 2])
演算法Python3程式碼求解
# 導入包 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # 定義求解函數 y_dot = y + 2*x/(y*y) def fx(y, x): return y + 2*x/(y*y) # 演算法定義 def ode_euler(f, y0, tf, h): """ Solve and ODE using Euler method. Solve the ODE y_dot = f(y, t) Parameters ------------ :param f: function Function describing the ODE :param y0: array_like Initial conditions. :param tf: float Final time. :param h: float Time step :return: y : array_like Solution to the ODE. t : array_like Time vector. """ y0 = np.array(y0) ts = np.arange(0, tf + h, h) y = np.empty((ts.size, y0.size)) y[0, :] = y0 for t, i in zip(ts[1:], range(ts.size - 1)): y[i + 1, :] = y[i, :] + h * f(y[i, :], t) return y, ts # 實例應用案例 def newton_cooling_example(): print('Solving Newton Cooling ODE...') y, ts = ode_euler(fx, 1, 2, 0.01) print('Done.') plt.figure() plt.plot(ts, y) plt.xlabel('time [s]') plt.title('Solution to the Newton cooling equation') plt.show()
程式碼中的部分函數理解
numpy.array
numpy.array(object, dtype=None, copy=True, order='K', subok=False, ndmin=0) 參考numpy.array output：創建一個array，返回類型為ndarray 實例
np.array([1, 2, 3.0]) # array([1., 2., 3.]) np.array([[1, 2], [3, 4]]) # array([[1, 2], [3, 4]]) np.array([1, 2, 3], dtype=complex) # array([1.+0.j, 2.+0.j, 3.+0.j])
numpy.arange
參考numpy.arange numpy.arange([start, ]stop, [step, ]dtype=None) 作用：在給定間隔內返回均勻間隔的值。 值在半開區間[start, stop)內生成（換句話說，包括開始但不包括終止）。返回的是ndarray而不是列表。 np.arange()函數返回一個有終點和起點的固定步長的排列，如[1,2,3,4,5]，起點是1，終點是5，步長為1。 參數個數情況： np.arange()函數分為一個參數，兩個參數，三個參數三種情況 ：
1. 一個參數時，參數值為終點，起點取默認值0，步長取默認值1。 2. 兩個參數時，第一個參數為起點，第二個參數為終點，步長取默認值1。 3. 三個參數時，第一個參數為起點，第二個參數為終點，第三個參數為步長。其中步長支援小數。
案例
np.arange(3,7) # array([3, 4, 5, 6]) np.arange(3,7,2) # array([3, 5])
numpy.ma.size
numpy.ma.size(obj, axis=None) 參考 案例
a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) np.size(a) # 6 np.size(a,1) # 3 np.size(a,0) # 2
numpy.empty
參考 numpy.empty(shape, dtype=float, order='C') shape : int or tuple of int Shape of the empty array, e.g., (2, 3) or 2. out : ndarray 案例
np.empty([2, 2]) # 結果 array([[ -9.74499359e+001, 6.69583040e-309], [ 2.13182611e-314, 3.06959433e-309]]) #random np.empty([2, 2], dtype=int) # 結果 array([[-1073741821, -1067949133], [ 496041986, 19249760]]) #random
