【讀書筆記】貝葉斯原理

除了邏輯學中正誤確定的論斷，還應考慮有不確定可信度的論斷。類似於\(B\rightarrow A\)的邏輯推斷，當我們得到新資訊時，相關論斷的可信度也應發生變化。比如，對於\(B\rightarrow A\)，當\(B\)的可信度提高時，\(A\)也應該提高（條件概率）；當\(A\)的可信度提高時，有時\(B\)也會提高（貝葉斯方法）
推導出唯一概率系統的考克斯公理
概率論是常識推斷的定量表述

類比邏輯論斷\(B\rightarrow A\)，先驗概率\(P(B)\)為假設\(B\)成立的概率，條件概率\(P(A|B)\)為推斷「\(\rightarrow\)」成立的概率，聯合概率\(P(\mathbf{A}, \mathbf{B})\)為兩個假設同時成立的概率
條件概率的計算式來源
- 根據第三條公理可知，聯合事件發生的概率是由單一事件概率與條件概率決定的
- 直觀上來看，\(P(A|B)\)與\(P(B)\)越大，聯合事件發生的概率越大
- 乘法能保證概率值始終在\([0,1]\)區間
- 因此有\(P(\mathbf{A}, \mathbf{B})=P(\mathbf{A} \mid \mathbf{B}) P(\mathbf{B})\)

核心：利用變數間的相關性，用新得到的可觀測變數的資訊來更新對不可觀測變數的估計
- 當某一觀測變數發生後，另一不可觀測量的發生概率如何發生改變
- 更新前的估計就是先驗概率
舉例

	不可觀測量\(A\)	可觀測量\(B\)	正向概率 \(P(B\mid A)\)	逆向概率 \(P(A\mid B)\)
發動機	發動機是不是壞了	聲音不對	壞了過後的聲音是不是這個聲音？	聽到這個聲音，發動機是不是壞了？
抽球	盒子中不同顏色小球的比例	摸出小球的顏色	摸出小球可能是什麼顏色？	盒中小球的顏色比例？
女神	女神是否喜歡你	女神對你笑	女神喜歡你的話，對你笑的概率有大？	女神如果對你笑了，喜歡你嗎？

公式：\(P(A \mid B)= \frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)}\)

可以理解為\(P(A,B) = P(A \mid B)P(B)=P(A)P(B \mid A)\)，同一相關關係的不同描述角度
求解：

以女神為例，要計算\(P(A \mid B)\)，帶入公式計算其餘各項即可
- \(P(A)\)：女神之前就喜歡你嗎？如果是路人，還是設置為50%的概率吧
- \(P(B|A)\)：喜歡一個人大概率會笑吧，可以設置為60%
- \(P(B)\)：女神平時傻笑嗎？高冷的話可以設置為40%
計算後可得，喜歡你的先驗概率提升為75%了！感謝貝葉斯！