矩陣函數的常見求法

2022 年 2 月 4 日
筆記
矩陣理論與方法

1 待定係數法

1.1 待定係數法求矩陣函數的步驟推導

待定係數法是以Hamilton-Cayley定理為基礎的一種求矩陣函數的方法。設\(n\)階矩陣\(A\)的特徵多項式為\(\phi(\lambda)=\det(\lambda I-A)\)，且設首\(1\)多項式為\(\psi(\lambda)\)，如果\(\psi(A)=O\)，且\(\psi(\lambda)\)整除\(\phi(\lambda)\)，則根據Hamilton-Cayley定理知道\(\psi(\lambda)\)的零點都是\(A\)的特徵值，記\(\psi(\lambda)\)的所有互異零點重數之和為\(m\)，則

\[f(z)=\sum^{\infty}_{k=0}c_kz^k=\psi(z)g(z)+r(z)
\]

其中\(r(z)\)為次數低於\(m\)的多項式，在確定出\(r(z)\)之後，便知道\(f(A)=r(A)\)。值得一提的是，求解\(r(z)\)的時候可以迴避掉\(g(z)\)的計算，依據的原理是適當求導之後的\(\psi(z)g(z)\)的值仍為零，具體的操作過程將在下面結合具體的例子加以說明。

1.2 舉例展示求法

下面以《矩陣論》一書例3.5為基礎說明待定係數法求矩陣函數的具體過程。

例3.5 設\(A=\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 3
\end{bmatrix}\)，求\(e^A\)和\(e^{tA}~(t\in R)\)

（1）容易得到最小多項式為\(m(\lambda)=(\lambda-2)^2\)，故取\(\psi(\lambda)=(\lambda-2)^2\)，此時最高次數為\(2\)，故設\(r(\lambda)=a+b\lambda\)，由於\(2\)為特徵值，所以有下面的方程組：

\[\left.
\begin{cases}
f(2)=e^2\\
f'(2)=e^2
\end{cases}
\right.
\]

容易解得\(a=-e^2\)，\(b=e^2\)，於是\(r(\lambda)=e^2(\lambda-1)\)，故

\[e^A=f(A)=r(A)=e^2(A-I)=e^2
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1\\
1 & -1 & 2
\end{bmatrix}
\]

（2）仍取\(\psi(\lambda)=(\lambda-2)^2\)，此時最高次數為\(2\)，故設\(r(\lambda)=a+b\lambda\)，由於\(2\)為特徵值，所以有下面的方程組：

\[\left.
\begin{cases}
f(2)=e^{2t}\\
f'(2)=te^{2t}
\end{cases}
\right.
\]

容易解得\(a=(1-2t)e^{2t}\)，\(b=te^{2t}\)，於是\(r(\lambda)=e^{2t}[(1-2t)+t\lambda]\)，故

\[e^{tA}=f(A)=r(A)=e^{2t}[(1-2t)I+tA]=e^{2t}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
t & 1-t & t\\
t & -t & 1+t
\end{bmatrix}
\]

2 數項級數求和法

2.1 數項級數求和法求矩陣函數的步驟推導

數項級數求和法是根據最小多項式導出的矩陣遞推關係來求解求矩陣函數的方法。由於首\(1\)多項式\(\psi(\lambda)\)滿足\(\psi(A)=O\)，也即

\[A^m+b_1A^{m-1}+\cdots+b_{m-1}A+b_mI=O
\]

那麼就可以得到

\[A^m=k_0I+k_1A+\cdots+k_{m-1}A^{m-1}\quad(k_i=-b_{m-i})
\]

這就是關於\(A^m\)的遞推關係，也就是說任意的\(A^n\)總能夠通過序列的前\(m\)項來表示出來，這就將矩陣冪級數的求和問題轉化為了\(m\)個矩陣的求和問題，即有

\[\begin{align*}
f(A)=&\sum^{\infty}_{k=0}c_kA^k=(c_0I+c_1A+\cdots+c_{m-1}A^{m-1})+c_m(k_0I+k_1A+\cdots+k_{m-1}A^{m-1})+\cdots\\
&+c_{m+l}(k_0^{(l)}I+k_1^{(l)}A+\cdots+k_{m-1}^{(l)}A^{m-1})+\cdots\\
=&(c_0+\sum^{\infty}_{l=0}c_{m+l}k_0^{(l)})I+(c_1+\sum^{\infty}_{l=0}c_{m+l}k_1^{(l)})A+\cdots+(c_{m-1}+\sum^{\infty}_{l=0}c_{m+l}k_{m-1}^{(l)})A^{m-1}
\end{align*}
\]

2.2 舉例展示求法

下面以《矩陣論》一書例3.6為基礎說明數項級數求和法求矩陣函數的具體過程。

例3.6 設\(A=\begin{bmatrix}
\pi & 0 & 0 & 0\\
0 & -\pi & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\)，求\(\sin A\)

容易得到矩陣\(A\)的特徵多項式為\(\phi(\lambda)=\det(\lambda I-A)=\lambda^4-\pi^2\lambda^2\)，因此有\(\phi(A)=O\)，也就有\(A^4=\pi^2A^2,A^5=\pi^2A^3,A^7=\pi^2A^5,\cdots\)，於是

\[\begin{align*}
\sin A=&A-\frac{1}{3!}A^3+\frac{1}{5!}A^5-\frac{1}{7!}A^7+\frac{1}{9!}A^9-\cdots\\
=&A-\frac{1}{3!}A^3+\frac{1}{5!}\pi^2A^3-\frac{1}{7!}\pi^4A^3+\frac{1}{9!}\pi^6A^3-\cdots\\
=&A+(-\frac{1}{3!}+\frac{1}{5!}\pi^2-\frac{1}{7!}\pi^4+\frac{1}{9!}\pi^6-\cdots)A^3\\
=&A+\frac{\sin\pi-\pi}{\pi}A^3\\
=&A-\pi^{-2}A^3\\
=&
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{align*}
\]

3 對角型法

3.1 對角型法求矩陣函數的步驟推導

對角型法就是線性代數課程中已經介紹過的求矩陣函數的方法。設\(A\)相似於對角矩陣\(\Lambda\)，即有可逆矩陣\(P\)，使得

\[P^{-1}AP=
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & &\\
& \ddots &\\
& & \lambda_n
\end{bmatrix}
\qquad
A=P
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & &\\
& \ddots &\\
& & \lambda_n
\end{bmatrix}
P^{-1}
\]

則有矩陣函數\(\sum^N_{k=0}c_kA^k=\sum^N_{k=0}c_kP\Lambda^kP^{-1}=P(\sum^N_{k=0}c_k\Lambda^k)P^{-1}\)，於是

\[f(A)=\sum^N_{k=0}c_kA^k=
P
\begin{bmatrix}
\sum^N_{k=0}c_k\lambda_1^k & &\\
& \ddots &\\
& & \sum^N_{k=0}c_k\lambda_n^k
\end{bmatrix}
P^{-1}
=
P
\begin{bmatrix}
f(\lambda_1) & &\\
& \ddots &\\
& & f(\lambda_n)
\end{bmatrix}
P^{-1}
\]

3.2 舉例展示求法

下面以《矩陣論》一書例3.7為基礎說明對角型法求矩陣函數的具體過程。

例3.7 設\(A=\begin{bmatrix}
4 & 6 & 0\\
-3 & -5 & 0\\
-3 & -6 & 1
\end{bmatrix}\)，分別求\(e^A\)，\(e^{tA}~(t\in R)\)及\(\cos A\)

矩陣\(A\)的特徵多項式\(\phi(\lambda)=\det(\lambda I-A)=(\lambda+2)(\lambda-1)^2\)，那麼根據線性代數的知識可以構造矩陣

\[P=(p_1,p_2,p_3)=
\begin{bmatrix}
-1 & -2 & 0\\
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\qquad
P^{-1}AP=
\begin{bmatrix}
-2 & & \\
& 1 & \\
& & 1
\end{bmatrix}
\]

其中\(p_1\)，\(p_2\)，\(p_3\)為矩陣的三個特徵向量，那麼就有

\[\begin{align*}
e^A&=P
\begin{bmatrix}
e^{-2} & & \\
& e^1 & \\
& & e^1
\end{bmatrix}P^{-1}=
\begin{bmatrix}
2e-e^{-2} & 2e-2e^{-2} & 0\\
e^{-2}-e & 2e^{-2}-e & 0\\
e^{-2}-e & 2e^{-2}-2e & e
\end{bmatrix}\\
e^{tA}&=P
\begin{bmatrix}
e^{-2t} & & \\
& e^t & \\
& & e^t
\end{bmatrix}P^{-1}=
\begin{bmatrix}
2e^t-e^{-2t} & 2e^t-2e^{-2t} & 0\\
e^{-2t}-e^t & 2e^{-2t}-e^t & 0\\
e^{-2t}-e^t & 2e^{-2t}-2e^t & e^t
\end{bmatrix}\\
\cos A&=P
\begin{bmatrix}
\cos(-2) & & \\
& \cos1 & \\
& & \cos1
\end{bmatrix}P^{-1}=
\begin{bmatrix}
2\cos1-\cos2 & 2\cos1-2\cos2 & 0\\
\cos2-\cos1 & 2\cos2-\cos1 & 0\\
\cos2-\cos1 & 2\cos2-2\cos1 & \cos1
\end{bmatrix}
\end{align*}
\]

4 Jordan標準型法

4.1 Jordan標準型法求矩陣函數的步驟推導

Jordan標準型法在形式上類似於對角型法。矩陣\(A\)的Jordan標準型為\(J\)，則有可逆矩陣\(P\)，使得

\[P^{-1}AP=J=
\begin{bmatrix}
J_1 & &\\
& \ddots &\\
& & J_s
\end{bmatrix}
\qquad
J_i=
\begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & &\\
& \ddots & \ddots &\\
& & \lambda_i & 1\\
& & & \lambda_i
\end{bmatrix}_{m_i\times m_i}
\]

那麼矩陣函數就可以求解，形式為：

\[\begin{align*}
f(A)&=P
\begin{bmatrix}
f(J_1) & &\\
& \ddots &\\
& & f(J_s)
\end{bmatrix}P^{-1}\\
f(J_i)&=\sum^{\infty}_{k=0}c_kJ^k_i=\sum^{\infty}_{k=0}c_k
\begin{bmatrix}
\lambda_i^k & C_k^1\lambda_i^{k-1} & \cdots & C_k^{m_i-1}\lambda_i^{k-m_i+1}\\
& \lambda_i^k & \ddots & \vdots\\
& & \ddots & C_k^1\lambda_i^{k-1}\\
& & & \lambda_i^k
\end{bmatrix}
\end{align*}
\]

4.2 舉例展示求法

下面以《矩陣論》一書例3.6為基礎說明數項級數求和法求矩陣函數的具體過程。

例3.6 設\(A=\begin{bmatrix}
\pi & 0 & 0 & 0\\
0 & -\pi & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\)，求\(\sin A\)

矩陣\(A\)的三個Jordan塊為

\[J_1=\pi\quad J_2=-\pi\quad J_3=
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}
\]

且根據求解過程可得

\[\sin J_1=0\quad \sin J_2=0\quad \sin J_3=
\begin{bmatrix}
\sin0 & \frac1{1!}\cos1\\
0 & \sin0
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}
\]

因此將此三個Jordan塊進行組裝便可以得到

\[\sin A=
\begin{bmatrix}
\sin J_1 & &\\
& \sin J_2 &\\
& & \sin J_3
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\]

5 參考資料

《矩陣論》，張凱院，徐仲，西北工業大學出版社

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