games101 – 4 – Ray Tracing

• 2022 年 1 月 7 日
• 筆記
• programming-and-computer-graphics, 電腦圖形學 - 渲染

games101 – 4 – Ray Tracing

對應的Lecture 13 ~ 17

為什麼需要Ray Tracing

光柵化無法處理全局效果

• 軟陰影；
• 光反彈次數超過一次的情況，如glossy reflection，indirection illumination；
• 光柵化的很快，但是品質比較低；
• raytracing，很準確，但是很慢；

Recursive (Whitted-Style) Ray Tracing

An improved Illumination model for shaded display」 T. Whitted, CACM 1980

Ray-Surface Intersection

射線的定義：\(r(t) = o + td, 0 \le t \lt \infty\)，一個起始點，和方向構成了一個射線。

對於射線和方程隱式表示的表面，可以通過求解方程式得到交點。更常見的場景是射線和三角網格模型進行求交計算。對於射線和三角形求交計算，可以先和平面進行求交，然後再判斷交點是不是位於三角形內部。

(23條消息) Möller-Trumbore演算法-射線三角形相交演算法_zhanxi1992的專欄-CSDN部落格

矩陣的形式表示如下：

然後利用克萊姆法則（\(Ax = c=>x_i = detA_i/detA\)）求解，

如果遍歷三角網格中的所有三角形，對每個三角形進行相交計算，並找到最近的交點，整個過程是非常耗時的。需要的開銷為#pixels x #triangles (x #bounces).

Bounding Volumes

可以利用包圍盒，進行加速。針對複雜物體，構建出包圍盒，然後如果射線不和包圍盒相交，那麼射線就不和包圍盒內部的物體相交，如果相交，然後再進行內部物體的相交測試，而包圍盒相交監測速度非常快。常見的包圍盒有：包圍球，軸對⻬包圍盒，非軸對齊包圍盒。更常用的是使用軸對齊包圍盒，因為針對它的相交計算很簡單。

在計算直線和Axis-Aligned Box相交的時候（此處允許t<0），分別針對每個維度，計算出\(t_{min}\)和\(t_{max}\)，那麼\(t_{enter}\)等於各個維度\(t_{min}\)的最大值，\(t_{exit}\)等於各個維度\(t_{max}\)的最小值。如果\(t_{enter} < t_{exit}\)，那麼相交。

但是ray並不是一條直線需要對負值的情況進行額外判斷：

• 如果\(t_{exit} < 0\)，那麼不相交；
• 如果\(t_{exit} \ge 0\)並且\(t_{enter} < 0\)，那麼射線的原點位於box內部，相交；
• 那麼ray和AABB相交，當且僅當\(t_{enter} < t_{exit}\ \&\& \ t_{exit} \ge 0\)

Spatial Partitions

• Uniform Spatial Partitions (Grids) 適用於很多對象均勻的分布在空間中的場景。

更常用的是不均勻空間劃分。

常見的分法如下：

K-D Tree – OI Wiki (oi-wiki.org)

Bounding Volume Hierarchy (BVH)

構建一個BVHs，需要進行如下操作：

• 找到包圍盒；
• 將包圍盒中的對象分成兩個部分（細分的時候需要選擇維度最大的方向進行劃分，這裡通常選擇當前node軸長最大的軸，切分的位置通常位於中間）；
• 重新計運算元集的包圍盒；
• 達到某種條件後中斷，通常是node中的對象少於一定數量；
• 將對象存儲到各個節點中；

BVH的數據結構主要分為兩類：內部節點和葉子節點。內部節點包括：包圍盒，子節點；葉子節點包括：包圍盒，對象集合；

BVH樹的遍歷：

Intersect(Ray ray, BVH node) {
	if (ray misses node.bbox) return;
	if (node is a leaf node)
		test intersection with all objects;
		return closest intersection;
	
	hit1 = Intersect(ray, node.child1);
	hit2 = Intersect(ray, node.child2);
	
	return the closer of hit1, hit2;
}

Radiometry

radiant energy: the energy of electromagnetic radiation. \(Q\ [J=Joule]\); 能量整體

radiant flux: the energy emitted, reflected, transmitted or received, per unit time. \(\Phi = dQ/dt\)，單位是[W=Watt],或者是[lm = lumen]。單位時間的能量；

另外幾個關鍵概念，示意圖如下：

Radiant intensity: the power per unit solid angle emitted by a point light source. \(I(\omega) = d\Phi/d\omega\),單位是[W/sr]，或者是[lm/sr = candela]。單位時間單位立體角的能量；立體角的概念，微分，積分，如下：

Irradiance：the power per (perpendicular projected) unit area incident on a surface point.\(E(x) = d\Phi(x)/dA\)。單位面積單位時間的能量（面積為垂直於光線方向）；面積理解的示意圖如下：

Radiance: the power emitted, reflected, transmitted or received by a surface, per unit solid angle, per projected unit area. 示意圖及公式如下：

irradiance和radiance概念對比，irradiance表示的是單位面積接收到的所有能量，radiance表示，從某一個單位立體角看過去的單位面積上接收的能量。

Bidirectional Reflectance Distribution Function (BRDF)

BRDF: 用來表示從每個方向過來的光線，有多少會貢獻到每個outgoing方向。represents how much light is reflected into each outgoing direction \(\omega_r\) from each incoming direction. 對應的公式如下：

上面的公式中為什麼需要對Lr做微分，對Ei做微分呢？具體解釋可以參見：關於BRDF公式理解的筆記_fatever的部落格-CSDN部落格，摘錄關鍵內容如下：

反射方程

表示的不同方向的irradiance對出射方向上的貢獻的積分。

渲染方程

在反射方程的基礎上再加上emission項，得到渲染方程。

Understanding the rendering equation

圖中，當一個光源的時候，用間接反射光取代了入射光。

Probability Review

隨機變數的概率密度函數：\(P(a\le x\lt b) = \int_a^b p(x) dx\)。p(x)即為概率密度函數。從負無窮到正無窮的圖形對應的面積為1。對應的期望為\(E(X) = \int xp(x)dx\).

Monte Carlo Integration

蒙特卡羅方法(Monte Carlo Method)概述——概念、起源、思路、應用、特點、計算程式、計算舉例和文獻資料(21k) (sohu.com)

蒙特卡洛光線追蹤技術_Dezeming的部落格-CSDN部落格

如果需要求解定積分，\(\int_a^bf(x) dx\)，首先需要知道x的概率分布，那麼可以轉換成求解積分，\(\int_a^bf(x)/p(x)\cdot p(x) dx\)，那麼用蒙特卡洛進行期望估計，得到：

Path Tracing

Whitted-Style Ray Tracing的條件是：總是執行鏡面反射和折射；碰到漫反射表面停止。這種近似對於一些場景會存在問題：1）對於glossy reflection表面；2）在diffuse材質，不會有反射；

之前給出的rendering equation是正確的，那麼如何求解呢？

A Simple Monte Carlo Solution

問題：假設我們需要渲染下面場景中一個點（僅考慮直接光照）：

那麼可以得到如下的反射方程：

要求解這樣的積分，我們利用蒙特卡洛積分，構建「f(x)”，為：\(L_i(p,\omega_i)f_r(p,\omega_i, \omega_o)(n\cdot\omega_i)\)，並且先假設\(\omega_i\)的概率密度函數為\(p(\omega_i)=1/(2\pi)\)，半球上均勻分布，那麼可以得到：

如果在光線追蹤的時候，一條光線hit到了物體，而沒有hit到light，需要怎麼處理呢？那麼首先需要計算hit到物體的位置，貢獻的光是多少。如下：

shade(p, wo)
	Randomly choose N directions wi~pdf
	Lo = 0.0
	For each wi
		Trace a ray r(p, wi)
		If ray r hit the light
			Lo += (1/N) * L_i * f_r * cosine / pdf(wi)
		Else If ray r hit an object at q
			Lo += (1/N) * shade(q, -wi) * f_r * cosine / pdf(wi)
	Return Lo

這樣就ok了么，並不然。上述的處理方式還存在什麼問題呢？

問題1：光線次數隨著碰撞次數的增多而指數增長

問題1：光線次數隨著碰撞次數的增多而指數增長。如下圖所示：

為了避免光線數量的暴增。隨機只選擇一條光線進行處理。如下：

shade(p, wo)
	Randomly choose 1 directions wi~pdf
	Lo = 0.0
	Trace a ray r(p, wi)
	If ray r hit the light
		Lo += L_i * f_r * cosine / pdf(wi)
	Else If ray r hit an object at q
		Lo += shade(q, -wi) * f_r * cosine / pdf(wi)
	Return Lo

這種方式的話，如果一個像素上只有一條光線穿過，那麼得到的結果雜訊會很大，因此需要多條射線穿過一個像素位置，然後對結果進行平均。這樣針對一個像素位置的偽程式碼如下：

ray_generation(camPos, pixel)
	Uniformly choose N sample positions within the pixel
	pixel_radiance = 0
	For each sample in the pixel
		Shoot a ray r(camPos, cam_to_sample)
		If ray hit the screen at p
			pixel_radiance += 1 / N * shade(p, sample_to_cam)
	Return pixel_radiance

問題2：此時shade函數如何終止

問題2：此時shade函數中還存在一個問題，就是函數進行無限循環。解決方案是提供輪盤賭的方式（Russian Roulette）。假設我們手動設置一個概率值，P，在發射一條光線的時候，給出一個隨機值，如果範圍在P~1，那麼返回：0，否則返回：Lo/P。這樣得到的Lo的期望為：E = P * (Lo/P) + (1-P)*0 = Lo。將這部分內容加到shader偽程式碼中如下：

shade(p, wo)
	Manully specify a probability P_RR
	Randomly select ksi in a uniform dist. in [0, 1]
	If (ksi > P_RR) return 0.0
	
	Randomly choose ONE direction wi-pdf(w)
	Trace a ray r(p, wi)
	If ray r hit the light
		Return L_i * f_r * cosine / pdf(wi) / P_RR
	Else If ray r hit an object at q
		Return shade(q,-wi) * f_r * cosine / pdf(wi) / P_RR

問題3：如何提高取樣效率

上述的實現並不是很高效，如下圖所示：

如果光源面積比較大，那麼發射較少數量的光線，就可以碰撞到光源，如果光源面積比較小，那麼需要發生很多的光線才行。這樣如果我們在半球表面進行均勻取樣，那麼會有大量的光線是wasted的。那麼怎麼解決呢？

可以將取樣分為兩部分，1）針對光源進行取樣，2）針對非直接光照場景進行取樣；

從渲染方程得知，接收到的光照資訊，是針對立體角進行積分的，那麼怎麼轉換到，通過光源面積進行積分呢？從立體角的定義得到：

那麼渲染方程可以重寫為：

此時shade偽程式碼可以寫為：

shade(p, wo)
	# Contribute from the light source
	Uniformly sample the light at x' (pdf_light = 1/A)
	# test blocked
	Shoot a ray from p to x'
	If the ray is not blocked in the middle
		L_dir = L_i * f_r * costheta * costheta' / |x' - p|^2 / pdf_light
	
	# Contribute from other reflectors
	L_indir = 0.0
	Test Russian Roulette with probability P_RR
	Uniformly sample the hemisphere toward Wi (pdf_hemi = 1/2pi)
	Trace a ray r(p, wi)
	If ray hit a non-emitting object at q
		L_indir = shade(q, -wi) * f_r * costheta / pdf_hemi / P_RR

Materials and Appearances

Materials == BRDF。BRDF用來表示從每個方向過來的光線，有多少會貢獻到每個outgoing方向。

Snell’s Law

傳輸方向從i到t，那麼如果\(\eta_i/\eta_t > 1\)可能發生完全內反射（即，沒有折射的現象）。

Fresnel Reflection

用來解釋：視線垂直於表面時，反射較弱，而當視線非垂直表面時，夾角越小，反射越明顯，這一種現象。

Fresnel Reflection – 菲涅爾反射 – Tekkaman – 部落格園 (cnblogs.com)

準確解和近似解分別如下：

微表面

微表面，針對每一個元素都可以視為mirror。

沒有覆蓋到的內容

• uniformly sampling the hemisphere; How?
• Monte carlo integration allows arbitrary pdfs. What’s the best choice?
• Do random numbers matter ? Yes! (low discrepancy sequences)
• I can sample the hemisphere and the light. Can I combine them? Yes! (multiple imp. sampling)
• The radiance of a pixel is the average of radiance on all paths passing through it. Why? (pixel reconstruction filter)
• Is the radiance of a pixel the color of a pixel? No. (gamma correction, curves, color space)
• deeper path tracing.