層次分析法、模糊綜合評測法實例分析（涵蓋各個過程講解、原創實例示範、MATLAB源碼公布）

• 2021 年 12 月 16 日
• 筆記
• 數學建模

一、先定個小目標

       假設我們現在要做一個大學生在線學習影響因素的排序，現在我給出這麼些個因素，自制力、網路條件、平台數目、家裡事務、課程內容實現。

       而這些個因素是較為抽象籠統的，我們進一步具體化，具體化時要注意各個因素之間仍然要保持互不相關,如下：

把以上內容整理一下，翻譯成論文樣式就是：

整理一下得到：

       本文目標就是將二級指標進行排序，排序依據為因素的影響權重。那麼如果將這種抽象的評價進行數據量化呢？
       倘若避開數據不談，你我按照自己心理的度量，也是一定能夠將12個二級指標按照從重要到不重要的順序排出來的。但可惜的是您也不知道具體，也不知道各個因素的影響差距，和他人述說這個順序時，你也難以去說服他人，更別說是論文啦。
       而層次分析法能將你心目中的抽象化為數據，咱們繼續。

二、層次分析法部分

2.1 思路總括

       層次分析法，顧名思義，以不同層次來進行分析，本文不畫什麼層次結構圖，但是您若是書寫論文，對原理的闡述盡量還是加上。
       層次分析法分層將決策的目標、考慮的因素(決策準則)和決策對象按他們之間的相互關係分成最高層、中間層和最低層。

畫個流程圖：

需注意我們是將準則層給具體細分，所以此處我們實際上例子只有兩層。計算時，我們先將B的權重計算出來，然後\(B_1\)、\(B_2\)、\(B_3\)、\(B_4\)、\(B_5\)。繼而又將B的各個權重進行拆分。（比如\(B_1\)權重為0.4，後續的\(B_{11}\)、\(B_{12}\)、\(B_{13}\)這裡無非是對這個0.4進行拆分，也就是\(B_{11}\)、\(B_{12}\)、\(B_{13}\)對\(B_1\)的權重）

把結構圖畫一下：

       每構造一次兩兩比較矩陣即可求出後者對前者的權重，即將\(B\)各個構造兩兩比較矩陣，即可求出準則層各項對\(A\)的權重）。同理，按照我們構建的結構，對\(B_{11}\)、\(B_{12}\)、\(B_{13}\)構造一次兩兩比較矩陣，可以求出\(B_{11}\)、\(B_{12}\)、\(B_{13}\)對\(B_1\)的權重。

2.2 構造兩兩比較矩陣

       遞階層次結構完成建立，上下層次指標間的隸屬支配關係得以確立。接下來對每一層次各因素的相關重要性給出判斷，並把這些判斷用數據表示出來既定量化描述，形成遞階層次結構的判斷矩陣。本文使用AHP1-9標度法，如表2.2-1所示：

       判斷矩陣是\(AHP\)中具有重要性且十分關鍵的一環，將相同層次的指標兩兩比較進行賦值，形成一個由判斷系統構成的判斷矩陣。相關步驟如下：
       以表2.2-1的綜合因素的一級指標為例，將其依照重要性轉化為數值。假設指標 \(B_1\)，\(B_2\)，\(B_3\)，\(B_4\)、\(B_5\)的重要性數值分別為\(a,b,c,d,e\)構造判斷矩陣，指標\(B_1\)、\(B_2\)、\(B_3\)、\(B_4\)、\(B_5\)同時為判斷矩陣的行和列，將其矩陣的元素設為\(a_{ij}\) ，\(a_{ij}=\frac{a_{i}}{a_{j}}\) ，\(a_i\)為指標\(B_i\)的重要性數值，\(a_j\)為指標\(B_j\)的重要性數值。其中\(i,j=1,2,3…n,(n=5)\)，\(i\) 和 \(j\) 分別表示判斷矩陣中的行數和列數。由此可得到下面表2.2-2：

同理可得二級指標的判斷矩陣。

2.3 權重計算方法

       本文對於權重計算採用三種不同的方法，分別是算術平均法、幾何平均法以及特徵值法。考慮到以往論文利用層次分析法解決實際問題時，大部分只採用其中一種方法求得權重，而不同的計算方法可能會導致實際結果有不同的偏差。為了保證結果的穩健性，本文根據三種不同的方法分別求出權重，再根據得到的權重矩陣計算各方案的得分，並進行排序和綜合分析。這樣最大降低了採用單一方法所產生的偏差，得出的結論將更全面、更有效。三種方法計算步驟和統一歸一處理過程如下所示：

2.3.1 算術平均法求權重

       將判斷矩陣內所有元素按照列進行歸一化處理，再將歸一化的各列按行求和，最後將相加後得到的向量中的每個元素除以 \(n\),即可得到權重向量 \(w_{i}\) , \((i=1,2…n)\)。

       對於判斷矩陣 \(A\) ：

       依照上述原理利用求得的權重向量為：

2.3.2 幾何平均法求權重

       先將 \(A\) 的元素依照行相乘得到一個新的列向量，再將該新建立的向量的每個分量進行開 \(n\) 次方得到一個開方後的列向量，對該列向量進行歸一化處理得到所需權重向量。

       同樣對於判斷矩陣 \(A\) ：

       進行幾何平均法得到權重向量：

2.3.3 特徵值法求權重

       有矩陣 \(A_{n\times n}\) ，設其最大特徵根為 \(\lambda_{max}\) ，解出判斷矩陣的特徵根。有公式 \(A\omega=\lambda_{max}\omega\) ，所得的解 \(\omega\) 經過歸一化處理後就是同一層次相應元素對於上一層次某一因素相對重要性的權重向量。（三個方法都需要檢測一致性比例）

       有矩陣 \(A_{n\times n}\) ，其最大特徵根計算公式如下：

       其中 \(\omega_i\) 是權重向量 \(\omega\times A_{n\times n}\) 得到的列向量 \(A\omega\) 中的第 \(i\) 個分量。

2.3.4 歸一化處理過程

       對所得權重向量 \(\omega_{i}=\left(\begin{array}{llll}
\omega_{1} & \omega_{2} & \cdots & \omega_{n}
\end{array}\right)^{T}\) 做如下運算即可得到：

2.4 一致性檢驗

       因為目標問題的複雜性以及人們對問題認識的模糊性和多樣性，故人們給出的判斷矩陣未必完全相同，所以進行一致性檢驗是判斷結果客觀準確性的依據。一致性檢驗是層次分析法的必要步驟之一。判斷矩陣通過了檢驗是計算出的權重有意義的前提，否則所得出的結果將不能完全說明指標的真實權重。如果沒有通過一致性檢驗，只能將數據進行修正計算出一組新的權重，再次進行檢驗，直到達到一致性檢驗通過為止，否則重複上述過程。

       一致性指標為 :

       當滿足一致性比例 \(C R=\frac{C I}{R I}<0.10\) 時則判定矩陣通過一致性檢驗，否則需要返回修正判斷矩陣數據。其中取值依據如下：

2.5 對一級指標求解

       依據 2.3 節所述原理和過程，構造判斷矩陣 A-B，將基準 \(A\) 中的五個元素 \(B_1\)、\(B_2\) 、 \(B_3\)、\(B_4\) 、\(B_5\) 兩兩比較，得成對比較矩陣：

對所求得的權重分別進行歸一化處理得：

對於特徵值法，利用式子

可以解得特徵向量如 表2.5-4 所示（計算過程見 2.3.3，使用的Matlab程式見附錄4.1）

所求特徵向量如下所示：

進而解得：

一致性指標\(C I=\frac{\lambda_{\max }-n}{n-1}=0.0842\)，得一致性比例 \(C R=\frac{C I}{R I}=0.0752<0.10\)

所以該判斷矩陣的一致性可以接受。

綜上所述，整理得所有一級指標權重如下：

2.6 對二級指標求解

       根據 2.4 對一級指標的求解，以下構造\(B_1\)、\(B_2\)、\(B_3\)、\(B_4\)、\(B_5\)一級指標下二級指標的判斷矩陣：

表2.6-3：B3 的二級指標判斷矩陣



表2.6-4：B4 的二級指標判斷矩陣>



表2.6-5：B5 的二級指標判斷矩陣

對所有二級指標進行一致性檢驗得到：

可以看到，二級指標一致性比例 \(CR\) 全部小於 0.1，故所有判斷矩陣的一致性可以接受。

又通過公式 \(S_{i}=\beta_{i} \times B_{k} \quad(i=1,2,3 ; k=1,2,3,4,5)\) 計算出每個二級指標基於一級指標整體歸一化權重向量：

三、模糊綜合評測法部分

3.1 整體思路闡述

       剛才 第二節 所求為各個影響因素的分立權重。那現在我們更進一步，通過之前利用層次分析法求得的權重來求出一個評價函數，說人話就是對在線學習的效率數據化。比如學習效率為35%，或者87%。大概這個樣子。

       接下來我將在第二節的基礎上使用模糊綜合評測法對在線學習效率和影響因素建立數學模型。

評測的評測環境是模糊的，且加入了多因素的影響，所以此處用模糊綜合評測很合適。

3.2 模型的建立和求解

3.2.1 模型的建立

       根據之前所得影響因素建立代表綜合評測的多種因素的因素集：

       再建立多種決斷構成的評判集合：

       其中 \(\left\{\begin{array}{lllll}
v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} & v_{5}
\end{array}\right\}\) 分別表示學習效率的評判標語為「優」，「良」，「中」，「可」，「差」，分別對應的在線學習效率程度為「很高」 「高」 「正常」 「低」 「很低」 ，並規定評價集中各元素的量化值為 \(v_1=100\)，\(v_2=85\)，\(v_3=70\)，\(v_4=55\)，\(v_5=40\)。

這個打分，可以自行設置，這裡按照百分制設置

       由於因素集各因素對評判事務的影響不同，因此結合上一問所的的決策層權重（非組合權重）分配可得：

       又評語並不是絕對的肯定與否定，故綜合後的評判可認為是上的模糊集，記作：

       其中 \(C_m\) 表示第 \(m\) 種評語在評判總體 \(V\) 中所佔地位。

       構造一個從 \(U\) 到 \(V\) 的模糊關係：

       利用 \(R\) 可以得到模糊變換 \(TR\) 。（在解決模型時，需要建立了多個 \(R\) ，分塊對一、二級指標 \(B\) 進行模糊變換，\((r_{i j})_{n \times m}\)通過德爾菲法得到）

德爾菲法肯定是要了解一下的啦
此處模糊評價矩陣就是用德爾菲法獲得的

       如此一來，由該 \((U,V,R)\) 三元體構成了一個模糊綜合評測數學模型，對於輸入的權重分配

       可得到綜合評判：

       即為：

3.2.2 模型的舉例求解

經過整理，在線學習效率綜合評估指標體系結構如圖所示：

在圖示的三層次結構綜合評價指標體系中，\(B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}\)分別表示不同的指標子集，具體含義如下：

對每個 \(B_{i} \quad(i=1,2,3,4,5)\) ，分別進行模糊綜合評測，單獨考慮 \(B_{i} \quad(i=1,2,3,4,5)\) 下的指標 \(B_{ij}\) ，通過德爾菲法得到隸屬於 \(B_{ij}\) 第 \(k\) 個評語 \(v_k\) 的程度，得到一份\(B_{i} \quad(i=1,2,3,4,5)\)下的模糊評價矩陣 \(R\) ：

進而利用模糊評價矩陣和上題所求的決策層權重（非組合權重）配比計算 \(V\) 上的模糊集。

根據:

配合 \(w=\beta^{T}\) 得到決斷構成的評判集合\(V=\left\{\begin{array}{lllll}
v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} & v_{5}
\end{array}\right\}\)的評測：

又根據\(\left\{\begin{array}{lllll}v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} & v_{5}\end{array}\right\}\)其中的評判標語「優」，「良」，「中」，「可」，「差」，分別對應的在線學習效率程度為 「很高」 「高」 「正常」 「低」 「很低」，根據規定評價集中各元素的量化值為 \(v_1=100\)，\(v_2=85\)，\(v_3=70\)，\(v_4=55\)，\(v_5=40\)。在本數學評價模型之下，得到的在線學習效率越接近100，學習效率越高；越接近40，學習效率越低。

所以在當前評價條件下可以計算出在線學習效率：

故根據本次德爾菲法獲取的模糊評價矩陣經過模糊綜合評測數學模型得到在線學習效率的評估為82.1455，學習效率較高。

根據綜合影響因素，通過德爾菲法獲取相應的模糊評判矩陣，進而得出在線學習效率的評估，該模型中輸入不同的評判矩陣一般將會得到不同的結果。

四、MATLAB程式碼

實際使用時根據需要修改程式碼

4.1 層次分析法-MATLAB程式碼

%層次分析法求權重、一致性、相關比常式序：
disp('請輸入判斷矩陣A')
A=input('A=');
[n,n] = size(A);

% 算術平均法求權重
A_sum= sum(A);
Sum_A = repmat(A_sum,n,1);
Stand = A ./ Sum_A;

disp('算術平均法求權重的結果為：');
disp(sum(Stand,2)./n)

%幾何平均法求權重
Prduct = prod(A,2);
Prduct_n = Prduct.^ (1/n);
disp('幾何平均法求權重的結果為：');
disp(Prduct_n ./ sum(Prduct_n))

%特徵值法求權重
[V,D] = eig(A);
Max_eig = max(max(D));
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);
disp('特徵值法求權重的結果為：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )

%計算一致性比例CR

CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %這裡的RI最多支援 n = 15
% 這裡n=2時，一定是一致矩陣，所以CI = 0，本文為了避免分母為0，將這裡的第二個元素改為了很接近0的正數
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指標CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因為CR<0.10，該判斷矩陣的一致性可以接受');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，該判斷矩陣需要進行修改');
end

4.2 模糊綜合評測法-MATLAB程式碼

%%模糊評測法求在線學習效率
w1=[0.7584 0.1681 0.0735];%錄入B1下的權重
w2=[0.0762 0.2308 0.6929];%錄入B2下的權重
w3=[0.8000 0.2000];%B3下的權重
w4=[0.8333 0.1667];%B4下的權重
w5=[0.6667 0.3333];%B5下的權重
R1=[0.4 0.35 0.1 0.1 0.05; 	%R1模糊評價矩陣
    0.35 0.35 0.15 0.1 0.05;
    0.2 0.2 0.35 0.2 0.05];
R2=[0.4 0.25 0.25 0.05 0.05; 	%R2模糊評價矩陣
    0.35 0.3 0.25 0.05 0.05; 
    0.4 0.3 0.15 0.1 0.05];
R3=[0.3 0.2 0.3 0.1 0.1; 	%R3模糊評價矩陣
    0.4 0.3 0.15 0.1 0.05];
R4=[0.2 0.35 0.3 0.1 0.05; 	%R4模糊評價矩陣
    0.15 0.25 0.25 0.2 0.15];
R5=[0.35 0.2 0.2 0.15 0.1; 	%R5模糊評價矩陣
    0.3 0.25 0.25 0.15 0.05];
Q=[0.4803 0.302 0.0536 0.0787 0.0854];
C1=w1*R1;	%TR運算
C2=w2*R2;
C3=w3*R3;
C4=w4*R4;
C5=w5*R5;
E=Q*[C1;C2;C3;C4;C5];	%加入權重
fprintf('%.4f\n',E)		%輸出評語評價結果