二分法模版及細節
二分法模版及細節
—— 轉載自部落格園 二分查找演算法細節詳解
我相信對很多讀者朋友來說，編寫二分查找的演算法程式碼屬於玄學編程，雖然看起來很簡單，就是會出錯，要麼會漏個等號，要麼少加個 1。
不要氣餒，因為二分查找其實並不簡單。思路很簡單，細節是魔鬼。
本文以問答的形式，探究幾個最常用的二分查找場景：尋找一個數、尋找左側邊界、尋找右側邊界。
而且，我們就是要深入細節，比如不等號是否應該帶等號，mid 是否應該加一等等。分析這些細節的差異以及出現這些差異的原因，保證你能靈活準確地寫出正確的二分查找演算法。
一、二分查找框架
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = ...;
while(...) {
int mid = (right + left) / 2;
if (nums[mid] == target) {
...
} else if (nums[mid] < target) {
left = ...
} else if (nums[mid] > target) {
right = ...
}
}
return ...;
}
分析二分查找的一個技巧是：不要出現 else，而是把所有情況用 else if 寫清楚，這樣可以清楚地展現所有細節。本文都會使用 else if，旨在講清楚，讀者理解後可自行簡化。
其中 … 標記的部分，就是可能出現細節問題的地方，當你見到一個二分查找的程式碼時，首先注意這幾個地方。後文用實例分析這些地方能有什麼樣的變化。
另外聲明一下，計算 mid 時需要技巧防止溢出，即 mid=left+(right-left)/2。本文暫時忽略這個問題。
二、尋找一個目標數字（基本的二分搜索）
這個場景是最簡單的，可能也是大家最熟悉的，即搜索一個數，如果存在，返回其索引，否則返回 -1。
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 注意
while(left <= right) {
int mid = (right + left) / 2;
if(nums[mid] == target)
return mid;
else if (nums[mid] < target)
left = mid + 1; // 注意
else if (nums[mid] > target)
right = mid - 1; // 注意
}
return -1;
}
1. 為什麼 while 循環的條件中是 <=，而不是 < ？
答：因為初始化 right 的賦值是 nums.length-1，即最後一個元素的索引，而不是 nums.length。
這二者可能出現在不同功能的二分查找中，區別是：前者相當於兩端都閉區間 [left, right]，後者相當於左閉右開區間 [left, right)，因為索引大小為 nums.length 是越界的。
我們這個演算法中使用的是前者 [left, right] 兩端都閉的區間。這個區間其實就是每次進行搜索的區間，我們不妨稱為「搜索區間」。
什麼時候應該停止搜索呢？當然，找到了目標值的時候可以終止：
if(nums[mid] == target)
return mid;
但如果沒找到，就需要 while 循環終止，然後返回 -1。那 while 循環什麼時候應該終止？搜索區間為空的時候應該終止，意味著你沒得找了，就等於沒找到嘛。
while(left <= right) 的終止條件是 left == right + 1，寫成區間的形式就是 [right + 1, right]，或者帶個具體的數字進去 [3, 2]，可見這時候搜索區間為空，因為沒有數字既大於等於 3 又小於等於 2 的吧。所以這時候 while 循環終止是正確的，直接返回 -1 即可。
while(left < right) 的終止條件是 left == right，寫成區間的形式就是 [left, right]，或者帶個具體的數字進去 [2, 2]，這時候搜索區間非空，還有一個數 2，但此時 while 循環終止了。也就是說這區間 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 沒有被搜索，如果這時候直接返回 -1 就是錯誤的。
當然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我們已經知道了出錯的原因，就打個修補程式好了：
// ...
while(left < right) {
// ...
}
return nums[left] == target ? left : -1;
2. 為什麼 left = mid + 1，right = mid – 1？我看有的程式碼是 right = mid 或者 left = mid，沒有這些加加減減，到底怎麼回事，怎麼判斷？
答：這也是二分查找的一個難點，不過只要你能理解前面的內容，就能夠很容易判斷。
剛才明確了「搜索區間」這個概念，而且本演算法的搜索區間是兩端都閉的，即 [left, right]。那麼當我們發現索引 mid 不是要找的 target 時，如何確定下一步的搜索區間呢？
當然是 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 對不對？因為 mid 已經搜索過，應該從搜索區間中去除。
3. 此演算法有什麼缺陷？
答：至此，你應該已經掌握了該演算法的所有細節，以及這樣處理的原因。但是，這個演算法存在局限性。
比如說給你有序數組 nums = [1, 2, 2, 2, 3]，target = 2，此演算法返回的索引是 2，沒錯。但是如果我想得到 target 的左側邊界，即索引 1，或者我想得到 target 的右側邊界，即索引 3，這樣的話此演算法是無法處理的。
這樣的需求很常見。你也許會說，找到一個 target，然後向左或向右線性搜索不行嗎？可以，但是不好，因為這樣難以保證二分查找對數級的複雜度了。
接下來我們就來討論這兩種二分查找的演算法。
三、尋找左側邊界的二分搜索
直接看程式碼，其中的標記是需要注意的細節：
int left_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
int right = nums.length; // 注意
while (left < right) { // 注意
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
right = mid;
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid; // 注意
}
}
return left;
}
1. 為什麼 while(left < right) 而不是 <= ?
答：用相同的方法分析，因為 right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此每次循環的「搜索區間」是 [left, right) 左閉右開。
while(left < right) 終止的條件是 left == right，此時搜索區間 [left, left) 為空，所以可以正確終止。
2. 為什麼沒有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 這個值，怎麼辦？
答：因為要一步一步來，先理解一下這個「左側邊界」有什麼特殊含義：
對於這個數組，演算法會返回 1。這個 1 的含義可以這樣解讀：nums 中小於 2 的元素有 1 個。
比如對於有序數組 nums = [2, 3, 5, 7], target = 1，演算法會返回 0，含義是：nums 中小於 1 的元素有 0 個。
再比如說 nums 不變，target = 8，演算法會返回 4，含義是：nums 中小於 8 的元素有 4 個。
綜上可以看出，函數的返回值（即 left 變數的值）取值區間是閉區間 [0, nums.length]，所以我們簡單添加兩行程式碼就能在正確的時候 return - 1：
while (left < right) {
//...
}
// target 比所有數都大
if (left == nums.length) return -1;
// 類似之前演算法的處理方式
return nums[left] == target ? left : -1;
3. 為什麼 left = mid + 1，right = mid ？和之前的演算法不一樣？
答：這個很好解釋，因為我們的「搜索區間」是 [left, right) 左閉右開，所以當 nums[mid] 被檢測之後，下一步的搜索區間應該去掉 mid 然後分割成兩個區間，即 [left, mid 或 [mid + 1, right)。
4. 為什麼該演算法能夠搜索左側邊界？
答：關鍵在於對於 nums[mid] == target 這種情況的處理：
if (nums[mid] == target)
right = mid;
可見，找到 target 時不要立即返回，而是縮小「搜索區間」的上界 right，在區間 [left, mid) 中繼續搜索，即不斷向左收縮，達到鎖定左側邊界的目的。
5. 為什麼返回 left 而不是 right？
答：都是一樣的，因為 while 終止的條件是 left == right。
四、尋找右側邊界的二分查找
尋找右側邊界和尋找左側邊界的程式碼差不多，只有兩處不同，已標註：
int right_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while (left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1; // 注意
} else if (nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if (nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return left - 1; // 注意
}
1. 為什麼這個演算法能夠找到右側邊界？
答：類似地，關鍵點還是這裡：
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
當 nums[mid] == target 時，不要立即返回，而是增大「搜索區間」的下界 left，使得區間不斷向右收縮，達到鎖定右側邊界的目的。
2. 為什麼最後返回 left – 1 而不像左側邊界的函數，返回 left？而且我覺得這裡既然是搜索右側邊界，應該返回 right 才對。
答：首先，while 循環的終止條件是 left == right，所以 left 和 right 是一樣的，你非要體現右側的特點，返回 right - 1 好了。
至於為什麼要減一，這是搜索右側邊界的一個特殊點，關鍵在這個條件判斷：
if (nums[mid] == target) {
left = mid + 1;
// 這樣想: mid = left - 1
因為我們對 left 的更新必須是 left = mid + 1，就是說 while循環結束時，nums[left] 一定不等於 target 了，而 nums[left-1] 可能是 target。
至於為什麼 left 的更新必須是 left = mid + 1，同左側邊界搜索，就不再贅述。
3. 為什麼沒有返回 −1 的操作？如果 nums 中不存在 target 這個值，怎麼辦？
答：類似之前的左側邊界搜索，因為 while 的終止條件是 left == right，就是說 left 的取值範圍是 [0, nums.length]，所以可以添加兩行程式碼，正確地返回 −1：
while (left < right) {
// ...
}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
五、最後總結
來梳理一下這些細節差異的因果邏輯：
第一個，最基本的二分查找演算法：
因為我們初始化 right = nums.length - 1
所以決定了我們的「搜索區間」是 [left, right]
所以決定了 while (left <= right)
同時也決定了 left = mid+1 和 right = mid-1
因為我們只需找到一個 target 的索引即可
所以當 nums[mid] == target 時可以立即返回
第二個，尋找左側邊界的二分查找：
因為我們初始化 right = nums.length
所以決定了我們的「搜索區間」是 [left, right)
所以決定了 while (left < right)
同時也決定了 left = mid + 1 和 right = mid
因為我們需找到 target 的最左側索引
所以當 nums[mid] == target 時不要立即返回
而要收緊右側邊界以鎖定左側邊界
第三個，尋找右側邊界的二分查找：
因為我們初始化 right = nums.length
所以決定了我們的「搜索區間」是 [left, right)
所以決定了 while (left < right)
同時也決定了 left = mid + 1 和 right = mid
因為我們需找到 target 的最右側索引
所以當 nums[mid] == target 時不要立即返回
而要收緊左側邊界以鎖定右側邊界
又因為收緊左側邊界時必須 left = mid + 1
所以最後無論返回 left 還是 right，必須減一
如果以上內容你都能理解，那麼恭喜你，二分查找演算法的細節不過如此。
通過本文，你學會了：
分析二分查找程式碼時，不要出現 else，全部展開成 else if 方便理解。 注意「搜索區間」和 while 的終止條件，如果存在漏掉的元素，記得在最後檢查。 如需要搜索左右邊界，只要在 nums[mid] == target 時做修改即可。搜索右側時需要減一。以後就算遇到其他的二分查找變形，運用這幾點技巧，也能保證你寫出正確的程式碼。
