演算法學習->求解三角形最小路徑及其值

• 2021 年 11 月 5 日
• 筆記
• 刷題筆記, 數據結構與演算法

00 問題

00-1 描述

對給定高度為n的一個整數三角形，找出從頂部到底部的最小路徑和。每個整數只能向下移動到與之相鄰的整數。

找到一個一樣的力扣題：120. 三角形最小路徑和 – 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

示例1：
輸入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
輸出：11
解釋：如下面簡圖所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自頂向下的最小路徑和為 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。
    
示例2：
輸入：triangle = [[-10]]
輸出：-10

00-2 提示：

1 <= triangle.length <= 200
triangle[0].length == 1
triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
-104 <= triangle[i][j] <= 104

01 思路

想用動態規劃寫出來，重點在於狀態轉移方程。

將等腰三角形抽象為等腰直角三角形，如下

  0 1 2 3
0 2
1 3 4
2 6 5 7
3 8 3 9 2

加上下標化的序列，我們就可以用二維數組dp來考慮。dp是用來存儲到i，j位置後用到的最短路徑長度，比如dp[2] [2]=2+4+7=13

定義一個起點:

dp[0][0] = a[0][0];

三種情況：

1. 三角形左路，在直角圖裡就是第一列，滿足：

   dp[i][0]=dp[i-1][0];

2. 三角形右路，在直角圖裡是對角線，滿足：

   dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+a[i][i]

3. 普通位置

   dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+a[i][j];

這樣程式就很好寫了。就是往dp數組裡填數就行，最後篩出最後一行的最小值就行。

02 程式碼

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int len = triangle.size();
        int dp[200][200]={0};
        dp[0][0]=triangle[0][0];
        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i][0] = dp[i-1][0]+triangle[i][0];
        }
        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i][i] = triangle[i][i]+dp[i-1][i-1];
        }
        for(int i=2;i<len;i++){
            for(int j=1;j<i;j++){
                dp[i][j] = triangle[i][j]+min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]);
            }
        }
        //填充dp
        //下面篩選路徑最短
        int ans = dp[len-1][0];
        for(int j = 1;j < len;j++){
            if(dp[len-1][j]<ans){
                ans = dp[len-1][j];
            }
        }
        return ans;
    }
};

03 升級版–記錄路徑

03-1 思路

如果要記下路徑，需要再來一個二維數組pre來記錄坐標為i,j的點的前一個節點。那麼如何記錄呢？我們看一下：

• (i,i)的前一個節點就是(i-1,i-1)；

• (i,j)的前一個節點是(i-1,j)或者(i-1,j-1)；

• (i,0)的前一個節點是(i-1,0)。

容易從這些情況總結出，上一節點一定為i-1,只需記錄j的值即可。故我們在pre二維數組裡記錄的就是當前節點的前一節點的j值。

記錄之後，我們還需要輸出這個最小路徑。怎麼輸出呢？

我們在前一問題的基礎上得到最後行的最小值的列值後，將它返回主控函數，並用它作為參數給路徑輸出函數Disppath。

輸出方法為：

• 對於當前節點，入棧，查它的pre數組值，更新，繼續該操作，直到完成。

  更新操作為：

   path.push_back(a[i][k]);
   k=pre[i][k];

• 逐個出棧。

03-2 程式碼

//三角形最小路徑
#include<stdio.h>
#include<vector>
#include<string.h>
using namespace std;
#define MAXN 100
int a[MAXN][MAXN];//三角形
int n;//高度
int ans = 0;//應求的路徑長度
int dp[MAXN][MAXN];
int pre[MAXN][MAXN];//前驅結點
//根據狀態轉移方程，只記錄列號即可
int Search(){
    int i,j;
    dp[0][0] = a[0][0];
    for(i=1;i<n;i++){
        dp[i][0]=dp[i-1][0]+a[i][0];
        pre[i][0]=i-1;
    }
    for(i=1;i<n;i++){
        dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+a[i][i];
        pre[i][i]=i-1;
    }
    for(i=2;i<n;i++){
        for(j=1;j<i;j++){
            if(dp[i-1][j-1]<dp[i-1][j]){
                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+a[i][j];
                pre[i][j]=j-1;
            }
            else{
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+a[i][j]; 
                pre[i][j]=j;           
            }
        }
    }
    ans = dp[n-1][0];
    int k=0;
    for ( j = 1; j < n; j++)
    {
        if(ans>dp[n-1][j]){
            ans = dp[n-1][j];
            k=j;
        }
    }
    return k; 
}
void Disppath(int k){
    int i=n-1;
    vector<int>path;//路徑節點
    while(i>=0){
        path.push_back(a[i][k]);
        k=pre[i][k];
        i--;
    }
    vector<int>::reverse_iterator it;
    for(it=path.rbegin();it!=path.rend();++it){
        printf("%d ",*it);
    }
    printf("\n");
}
​
int main(){
    int k;//k行k列的三角形
    memset(pre, 0, sizeof(pre));
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<=i;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    k=Search();
    Disppath(k);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
​