用餘弦定理證明海倫公式
前言
其實很早以前就像把這個記下來了，但是苦於沒有時間就一直咕咕咕了……- 海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式。它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式。——百度百科
海倫公式的證明
Description ：
-
\[a,b,c\in \R,S_{\Delta ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \:\:\:\left(p=\frac{a+b+c}{2}\right)
\]
前置知識🧀 ：
- 餘弦定理
（這不顯然么） - 好吧用向量簡單證明一下……
- 設三角形的三邊長為 \(a,b,c\) ，其向量為 \(\vec a,\vec b,\vec c\) ，設 \(\vec c=\vec a-\vec b\) （方向自己琢磨一下吧就不贅述了）。
- 顯然向量是滿足乘法分配律的，所以我們將等式兩邊同時平方，可以得到 \({\vec c}^2={\vec a}^2+{\vec b}^2-2\cdot \vec a\vec b\)
- 因為 \({\vec c}^2={|\vec c|}^2=c^2,\vec a\vec b=|\vec a||\vec b| \cdot \cos C\)
- 所以可以得到 \(c^2=a^2+b^2-2\cdot ab\cos C\) ，得證。
- 同時，其可以變形為 \(\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2\cdot ab}\) 。
證明：
\[\begin{aligned}
S&=\frac12 ab\cdot \sin C\\
&=\frac12 ab\cdot \sqrt{1-\cos^2C}\\
&=\frac12 ab\cdot \sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2\cdot ab}\right)^2}\\
&=\frac14 \sqrt{(2\cdot ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\\
&=\frac14 \sqrt{[(a+b)^2-c^2]\cdot [c^2-(a-b)^2]}\\
&=\frac14 \sqrt{2p\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-b)\cdot 2(p-a)}\\
&=\sqrt{p\cdot (p-c)\cdot (p-b)\cdot (p-a)}
\end{aligned}
\]
S&=\frac12 ab\cdot \sin C\\
&=\frac12 ab\cdot \sqrt{1-\cos^2C}\\
&=\frac12 ab\cdot \sqrt{1-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2\cdot ab}\right)^2}\\
&=\frac14 \sqrt{(2\cdot ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\\
&=\frac14 \sqrt{[(a+b)^2-c^2]\cdot [c^2-(a-b)^2]}\\
&=\frac14 \sqrt{2p\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-b)\cdot 2(p-a)}\\
&=\sqrt{p\cdot (p-c)\cdot (p-b)\cdot (p-a)}
\end{aligned}
\]
證畢。
- 在上述的推導過程中，變換原理依次為：
- 三角形面積與正弦的關係
- 同角三角函數的關係
- 平方差公式
- 完全平方公式
- 平方差公式
真是簡單極了
