回顧Games101圖形學（一）幾何變換中一些公式的推導

• 2021 年 6 月 24 日
• 筆記
• Games101 圖形學基礎, 電腦圖形學

回顧Games101 chatper1 – 6

前言

本文只寫回顧後重新加深認識的知識

透視除法的意義

經過MVP矩陣之後，將模型空間下某點的坐標，轉換成了裁剪空間下的坐標，此時因為裁剪空間的範圍是x∈[-W/2，W/2]和y∈[-H/2，H/2]，所以經過以下兩個變換，其中除以pz就是透視除法
一：

二：

只有當W=1，這個三維坐標轉換是等價的，才能保證位移的量是正確的，W=0時，則沒有位移

只有當W=1時，三維坐標點轉換成四維齊次坐標點才是等價的

坐標系變換和矩陣推導

坐標系變換理解不直觀，傾向於101中閆老師所說的理解坐標系的轉換通過矩陣進行的線性變換，將A坐標系下的點P，乘上矩陣得出B坐標系下的點P’，以下是拋開常見的變換（如透視投影變換、正交投影變換等）如何得出變換矩陣M，通過矩陣變換（下文著重說明）

已知坐標系A和坐標系B

則將坐標系B中一點P從坐標系B變換到坐標系A的變換矩陣為：（注意此處的例子是將源坐標系A變換到目標坐標系B下）

如之前所說，變換過程中點p在空間中的絕對位置沒有發生改變，只是參考坐標系發生了改變，從B坐標系變到A坐標系。（縮放，旋轉，平移變換隻有在同一坐標系下才有意義）

矩陣變換是基於基向量組的結果

• 矩陣變換之於同一個坐標系，可以理解為坐標系不變，點的位置改變
• 矩陣變換之於不同坐標系，可以理解為點的絕對位置不變，坐標系改變

其中，矩陣B的各個列向量分別對應B坐標系的各個基向量，\(
\left[ \begin{array}{c}
x\\
y\\
\end{array} \right]
\)是向量\(
\overrightarrow{OP}
\)或者說點P在B坐標系的表示，\(
\left[ \begin{array}{c}
x^{‘}\\
y^{‘}\\
\end{array} \right]
\)則是向量\(
\overrightarrow{OP}
\)或者點P在A坐標系中的表示

以圖中的兩個向量\(
\overrightarrow{b_1}
\)，\(
\overrightarrow{b_2}
\)為基確定一個坐標系B，顯然在B坐標系中\(
\overrightarrow{b_{1B}}=\left[ \begin{array}{c}
1\\
0\\
\end{array} \right]
\)，\(
\overrightarrow{b_{2B}}=\left[ \begin{array}{c}
0\\
1\\
\end{array} \right]
\)，接下來，將\(
\overrightarrow{b_1}
\)，\(
\overrightarrow{b_2}
\)定位到A坐標系中，得到\(
\overrightarrow{b_{1A}}=\left[ \begin{array}{c}
2\\
1\\
\end{array} \right]
\)，\(
\overrightarrow{b_{2A}}=\left[ \begin{array}{c}
-1\\
1\\
\end{array} \right]
\)

\(
\because \overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{b_1}+2\overrightarrow{b_2}
\)

\(
\therefore \overrightarrow{OP}\)在B坐標系中的表示為\(
\left[ \begin{array}{c}
2\\
2\\
\end{array} \right]
\)，現在，將\(
\overrightarrow{OP}
\)用A坐標系描敘：
\(
\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{b_1}+2\overrightarrow{b_2}=2\overrightarrow{b_{1A}}+2\overrightarrow{b_{2A}}=\left[ \begin{matrix}
\overrightarrow{b_{1A}}& \overrightarrow{b_{2A}}\\
\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c}
2\\
2\\
\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c}
2\\
4\\
\end{array} \right]
\\
\)
現在，令矩陣B=\(
\left[ \begin{matrix}
\overrightarrow{b_{1A}}& \overrightarrow{b_{2A}}\\
\end{matrix} \right]
\)，P點是用B坐標系表示的任意一點\((x,y)\)。
於是\(
\overrightarrow{OP}
\)在A坐標系中的表示\(
\left[ \begin{array}{c}
^{x^{‘}}\\
y^{‘}\\
\end{array} \right] =B\left[ \begin{array}{c}
x\\
y\\
\end{array} \right]
\)，顯然，B是可逆的，於是就有了之前的結論
那麼在這個例子當中，當我們需要知道某點在轉換坐標系後的新坐標時，通過該例子也可以加深印象，比如在B坐標系下有點\(Q(3,4)\)，即\(\overrightarrow{OQ}=(3,4)\)，跟據剛才的例子可以看出它轉換在A坐標系下的點

即轉換到A坐標系下的點\(Q^{‘}\)的坐標為\(Q^{‘}(6,9)\)

雖然這裡的討論是基於二維的，但是，結論可以擴展到任意維度

闡述結論：

將B坐標系的基向量定位到A坐標系，然後將定位之後的基向量作為矩陣B的列向量，用矩陣B對B坐標系中的點P的坐標進行矩陣變換，將得到點P在A坐標系中的坐標。這個過程，就是從坐標系B到坐標系A的一個追溯過程

View/Camera Transformation

先將相機移到原點，然後進行分別對坐標軸進行旋轉，用矩陣表示則是\(M_{view}=R_{view}T_{view}\)

• 將相機移回原點

• \(Rotate\,\,g\,\,to\,\,-Z, t\,\,to\,\,Y, \left( g×t \right) \,\,To\,\,X\)
  g是相機看的方向（lookAt），t是相機向上的方向（Up），也就是相機的-Z軸和Y軸，兩個向量叉積就是另一個坐標軸

旋轉矩陣是正交矩陣，所以旋轉矩陣的逆就是旋轉矩陣的轉置

正交投影矩陣

無論是正交投影還是透視投影，都是要將x、y、z移到-1到1的範圍內，先將中心點移到原點，然後縮放

透視投影矩陣推導

首先先將frustum 轉變為cuboid（n -> n,f -> f）(\(
M_{persp->ortho}
\)
)
然後再做正交投影

整個投影變換包括兩部分

• v = P（矩陣）*p
• \(v=\frac{v}{v_w}=\frac{v}{pz}\)透視除法

以上大概推出等式這一步，接下來用公式展示更為直觀

將右邊的四維列向量表示的坐標每一項乘以z，所以有

所以求得矩陣為

因為z=zNear時，z”=-1；z=zFar時，z”=1所以有以下等式

聯立求得：

最後求得投影矩陣為

將這樣得矩陣乘以視錐體內的一個頂點坐標，得到一個新的向量，再將這個向量的每個分量除以第四個分量（此步驟也被稱為透視除法）（w），這樣就可以得到頂點映射到規則立方觀察體後的新的坐標

注意：z坐標的映射方式的獲得，最後我們是為了方便矩陣乘法的操作方向求得了z坐標與cvv中的z坐標的映射方式：

此時的映射並不是線性的，當z越大時，z的變化對z”的擾動越小

Canonical Cube to Screen

• Irrelevant to z
• Transform in xy plane : [-1, 1] to [0, width] × [0, height]
• Viewport transform matrix:

視口矩陣

深度z的計算

前言
3D光柵化發生在圖元被變換到Screen space之後，因為這裡的Screen space與2D的Screen Space完全一致，所以2D的光柵化演算法在這裡依然適用。

然而由於圖元經過了投影變換，且投影變換為非線性變換，所以不能用簡單的線性插值獲取fragment的屬性

為了執行z-buffer演算法，需要通過點q獲取到v的深度值(z)
點\(v\)的深度值可以通過如下方法插值得到：

以下是推導的過程：

手寫版：

文字版：
由於點\(q\)為點\(v\)在near plane上的投影，因此點\(q\)與點\(v\)的關係為：

• \(q_x=\frac{v_x·near}{v_z}\)
  且\(v\)位於\(p0p1\)之間，則
• \(v_z=p0_{z}+t·(p1_z-p0_z)=\frac{v_x·near}{q_x}\)
  由點\(v\)在\(p0\)，\(p1\)之間，點\(q\)在\(s0\)，\(s1\)之間則有
• \(v_x=p0_{x}·(1-t)+p1_{x}·t=p0_{x}+t·(p1_{x}-p0_{x})\)
• \(q_x=s0_{x}·(1-c)+s1_{x}·c=s0_{x}+c·(s1_{x}-s0_{x})\)
  代入式(1)可得
  \(v_z=\frac{v_x·near}{q_x}=\frac{(p0_x+t·(p1_x-p0_x))·near}{s0_x+c·(s1_x-s0_x)}\)式(2)
  又s0和s1分別為p0和p1在near plane上的投影，則：
• \(s0_x=\frac{p0_x·near}{p1_z}\)
• \(s1_x=\frac{p1_x·near}{p1_z}\)
  代入式(2)可得：

化簡得：

則：

代入式(1)可得

若View Space中三角形\(v0v1v2\)，變換到Screen Space後為三角形\(s0s1s2\)，\(v0v1v2\)內一點v在Screen Space的投影點\(s0s1s2\)內的點\(q\)，對三角形\(s0s1s2\)內的點（fragment）\(q\)，可以通過如下方法取得fragment\(q\)在View Space中對應的深度值：

\(\lambda0,\lambda1,\lambda2\)為點p在三角形\(s0s1s2\)內的重心坐標
引入結論：
對Screen Space三角形\(s0,s1,s2\)內一點p的任意屬性插值的公式為:

\(\lambda0,\lambda1,\lambda2\)為點\(p\)的重心坐標，\(z0,z1,z2,z\)分別為\(s0,s1,s2,p\)在view space中對應點的深度值，可以用這個方法插值得到\(p\)在NDC Space內對應點的深度值

羅德里格斯旋轉公式

字寫得不好，在爬了…
手寫版：

文字版：
首先先將\(\overrightarrow{k}\)處理成單位向量，這點很重要，關乎著下一步等式是否成立，有些博文寫這裡不需要處理單位向量，這是錯的

可得

繞\(\overrightarrow{k}\)做旋轉時，向下做垂線，可看作底部經過了類似半圓的旋轉
要求得\(\overrightarrow{v_{rot}}=\overrightarrow{v_{||}}+\overrightarrow{v_{rot\bot}}\)，將\(\overrightarrow{v_{rot\bot}}\)作正交分解有\(
\overrightarrow{v_{rot\bot}}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
\)，易得\(
|\overrightarrow{w}|=|\overrightarrow{v_{\bot}}|
\)，則有\(
\overrightarrow{w}=\overrightarrow{k}×\overrightarrow{v_{\bot}}=\overrightarrow{k}×\left[ \overrightarrow{v}-\overrightarrow{v_{||}} \right] =\overrightarrow{k}×\overrightarrow{v}-\overrightarrow{k}×\overrightarrow{v_{||}}=\overrightarrow{k}×\overrightarrow{v}-0=\overrightarrow{k}×\overrightarrow{v}
\)
接下來求\(
\overrightarrow{a}
\)和\(
\overrightarrow{b}
\)

把\(
\overrightarrow{k}
\)和\(
\overrightarrow{v}
\)分別寫為列向量

令\(
\overrightarrow{v_{rot}}=R·\overrightarrow{v}
\)
兩個式子

結合以上兩個式子可得,其中\(I\)為3×3的單位矩陣

以下是比較通用的表示方式

部分引用的博文

//blog.csdn.net/unclerunning/article/details/70948696#齊次坐標系與平移

//zhuanlan.zhihu.com/p/45757899